• 两层之间的分子动量交换
表现为力的作用，称为表观 切应力。气体内摩擦力即以 表观切应力为主。
一般认为：液体粘性主要取决于分子间的引力，气体的黏性主要取 决于分子的热运动。
4、运动粘度 运动粘度系数： 单位：m2/s
常见流体的动力黏度和运动黏度(表2.1)
5、影响粘度的因素
流体的黏度随温度和压力而变化，分别称为黏温特性和黏压 特性。黏度一般随温度变化较大，随压力变化不大。
表面张力的形成主要取决于分界面液体分子间的吸引 力，也称为内聚力。在液体中，一个分子只有距离它约 10-7cm的半径范围内才能受到周围分子吸引力的作用。 在这个范围内的液体分子对该分子的吸引力各方向相等， 处于平衡状态。但在靠近静止液体的自由表面、深度小 于约10-7cm薄的表面层内，每个液体分子与周围分
20℃时两种介质分界面上的表面张力系数
场合 苯-水银 水-苯
温度（℃） 20 20
表面张力 （N/m）
0.375 0.035
场合 水-四氯化碳
水-水银
温度（℃） 表面张力 （N/m）
20
0.045
20
0.0375
4、弯曲液面下的压强差（表面张力对液体自由表面两 侧压强的影响）：
若自由表面是一个平面，则沿着平面的表面张力处于平衡 状态，平面表面两侧的压强相等；若自由表面是曲面，则表面 张力将使曲面两侧产生压强差p1-p2 ，以维持平衡。
输运过程有三种：动量输运、热量输运、质量输 运。流体的这三种输运性质分别对应粘滞现象、导 热现象和扩散现象。
一、动量输运（粘滞现象）
1、定义：流体内部质点间或流层间因相对运动而产生 内摩擦力以反抗相对运动的性质，称之为动量输运， 或称为粘性（粘度）。此内摩擦力称为粘滞力。
2、表达式
内摩擦切应力 F
设在曲表面上取一个边长为ds1和ds2的微元矩形双曲面，双
曲面曲率半径各为R1和R2，夹角为 和d1 ，d作2 用在曲面凹面
和凸面的压强分别为p1和p2，如图所示。在微元矩形双曲面两 对边ds1和ds2上，
d1
ds1
R2
d 2 R2
R1
R1
R1
R1
ds1
ddss21
双曲面曲率半径R2 双曲面曲率半径R1 双曲面曲率半径夹角 d1 d 2
接触角与球冠液面的高度的关系： 在图2-1（a）中
R R cos(90 ) R(1 sin )
r 1 sin
cos
（2-2a）
在图2-1（b）中
R R cos( 90) R(1 sin )
而
r sin( 90) cos
R
r (1 sin ) cos
水与玻璃的接触角约为 8.5o，由式（2-2a）得
3、表面张力的计算：
表面张力T的大小以作用在单位长度上的力 表示，计算式为：
T L
为表面张力系数，描述单位长度截线上的
表面张力，单位是N/m。
液体表面张力系数（表2.6，p17） 饱和水表面张力系数与温度关系（表2.7，p17）
常用液体在20℃时与空气接触的表面张力系数
液体
表面张力
（ N/m）
液体：分子之间的引力是产生粘度的主要因素 温度↑→分子间距↑→分子吸引力↓→内摩擦力↓→粘度↓
气体：分子热运动引起的动量交换是产生粘度的主要因素。 温度↑→分子热运动↑→动量交换↑→内摩擦力↑→粘度↑
6、流体按照粘度的分类
τ0
τ
宾汉型塑性流体
假塑性流体 牛顿流体
说明：满足牛顿黏性定律的流体称为牛顿 流体，如油液和水为牛顿流体；反之称为
ds1ds2
1 R1
1 R2
于是得：
p1
p2
1 R1
1 R2
由上式可知，曲面两侧压强差的大小正比于表面张力系数，反比于
曲表面的曲率半径。
5、毛细现象
把细管插入液体内，若液体(如水)分子间的吸引力 (称为内聚力)小于液体分子与固体分子之间的吸引力， 也称为附着力，则液体能够润湿固体，液体将在管内上 升到一定的高度，管内的液体表面呈凹面，如图2-1(a) 所示，若液体(如水银)的内聚力大于液体与固体之间的 附着力，则液体不能润湿固体，液体将在管内下降到一 定高度，管内的液体表面呈凸面，如图2-1(b)所示。
（2-2b）
H2O
r cos 8.5
(1 sin 8.5)
0.862r
将上式代入式（2-1），得水在细玻璃管中的上升高度为
hH2O
1.98 gr
0.324r
（2-3）
对于很细的玻璃管，水的凹表面可近似地看作是一个半球面，
则Θ=00，δ=R= r ，于是由式（2-1）可得
2 r hH2O gr 3
一、拉格朗日方法 二、欧拉法 三、描述流体运动的概念
拉格朗日：
法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵， 1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。
1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发 出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有 “欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林， 居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析 力学》一书，建立起完整的力学体系。
液体
纯水
0.0728
四氯化碳
乙醇（酒精）
0.0223
煤油
苯
0.0289
原油
* 和空气接触 * * 和水银本身蒸汽接触
表面张力
（ N/m） 0.0266 0.0234～ 0.0321 0.0234～ 0.0379
液体
润滑油 水银
表面张力
（ N/m） 0.0350～ 0.0379 0.513*～ 0.485**
第二章 流体输运性质及运动物理量描述
第一节 流体的输运性质 第二节 流体运动物理量的描述
第一节 流体的输运性质
当系统各部分的物理性质如速度、温度或密度不 均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预时， 系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种过渡称 为输运过程。流体输运现象是一种自发过程。
从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动以 及分子之间的碰撞产生的，使流体宏观性质趋于一 致。
膨胀性流体 非牛顿流体，如奶油、高分子聚合物和胶
质体等。当 ＝０时称为无黏性流体。
du
o
dy
与垂直于流动方向的速度梯度du/dy成正比
内摩擦力 F
与接触面的面积A成正比
与流体的种类有关
与接触面上压强P 无关
例1：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径d=11.96cm，活塞长 度L=14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油的μ =0.1Pa·s。
【例1-3】 把一内径为10mm的玻璃管插入盛有20℃水的容 器中，求水在玻璃管中上升的高度。
【解】 查得20℃水的密度，表面张力，则由式（2-3）得：
1.98 hH2O gr 0.324r
1.98 0.0728 9.79103 0.005
0.324
0.005
m
0.0013(m)
第二节 流体运动物理量的描述
例题3：一底面积为40cm×45cm，高为1cm的木块， 质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已 知v ＝1m/s, δ=1mm, 求润滑油的动力粘度
13
α5
12
α
v
G
G
例题4：如图所示，转轴直径=0.36m，轴承长度=1m，轴与轴承之 间的缝隙＝0.2mm，其中充满动力粘度＝0.72 Pa.s的油，如果轴 的转速200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。
二、质量输运（扩散现象）
1、定义：流体密度分布不均时，流体的质量就会从高密度区迁移到 低密度区，这种现象称为扩散现象。根据组分不同，扩散现象分为自 扩散和互扩散。
2、自扩散 单位时间内每单位面积上的质量输 运为:
j D d
dy
D - 自扩散系数
负号表示质量输运方向和密度梯度方 向相反。
y
y
x
d dy
am
2、互扩散（Fick定律）
某一种组分的定常扩散率与其密度梯度和截面积成正比，或 者单位时间每单位面积的质量流量与密度梯度成正比。
jAB
DAB
dA
dy
jAB -单位面积质量流量 DAB -扩散系数，单位：m2/s
——一维定常的第一Fick扩散定律
在三维空间中，每单位面积的质量流量为：
ds2
与边界线正交的外向力ds1 ds2
图1-5 曲表面的表面张力和压强
表面张力产生一对与边界线正交的向外力 d和s1 ，d则s2垂直于曲面的
合力沿曲面法线方向的力平衡方程为
( p1
p2 )ds1ds2
2 ds1 sin
d1
2
2 ds2
sin
d 2
2
ds2
ds1
2 ds1
2 R2
2 ds2
2 R1
水银与玻璃的接触角约为1400，由式（2-2b）得
(2-4)
Hg
Байду номын сангаас
r cos140
(1 sin 140)
0.466r
将上式代入式（2-1），得水银在细玻璃管中的下降高度为
hHg
1.53 gr
0.216r
（2-5）
由式（2-3）和式（2-5）可知，当细管半径越小时，h的绝 对值就越大。所以，当用内径很细的管子作液柱式测压计的管子 时，会造成较大的测量误差。一般来说，对于水，细管的内径应 大于14mm；对于水银，细管的内径大于10mm时，此时毛细 现象产生的测量误差已很小，不必加以修正。
三、表面张力和毛细现象
1、液体内部与液体表面的特性：
液体内部质点之间的相互作用表现为压力；而 界面液体之间的相互作用力表现为张力。张力引起 液面内外出现压力差以及毛细现象。