函数的值域题型一：二次函数的值域例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，,6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。

例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7-+，② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f所以此时的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62， ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f所以此时的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62， ④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元发，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。

则可以换元，令1+=x t ，原函数变为tt t 1212+=+，由反比例函数的性质可知，值域为()()+∞∞-,22,解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。

令132)(++==x x x f y ，则32+=+x y yx ，得到23--=y y x ，可知2≠y解法三：解析几何法。

考虑数形结合，联想到分式2121x x y y --表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为()()132----x x ，可以看成是()()x x 2,,3,1--两点连线的斜率，其中()x x 2,是动点，构成x y 2=直线轨迹，则连线必须与x y 2=相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。

例7． 求函数132)(++=x x x f 在[]10，的值域 解法一：分离变量之后采用函数图像法，令1+=x t，[]2,1∈t ，原函数变为t t t 1212+=+，可以画出t 12+的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡325， 解法二：反函数法，将23--=y y x 代入[]10，中，求解1230≤--≤y y不等式，可以得到值域范围⎥⎦⎤⎢⎣⎡325，。

解法三：解析几何法。

()()132----x x ，可以看成是()()x x 2,,3,1--两点连线的斜率，其中()x x 2,是动点，不在构成直线，而是构成x y 2=在[]10，区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡325，例8．求函数133)(2+++=x x x x f 的值域解法一：分离变量法，令1+=x t ，原函数变为1112++=++tt t t t 由均值不等式可知当21,0≥+>t t t ，当21,0-≤+<tt t ，可以得到原函数的值域为(][)+∞-∞-,31,解法二：判别式法，令133)(2+++==x x x x f y ，则332++=+x x y yx ，整理得关于x 的一元二次方程()0332=-+-+y x y x ，满足方程有解，该方程的判别式()()03432≥---=∆y y 可得31≥-≤y y 或,即函数的值域为(][)+∞-∞-,31,解法三：解析几何法，())1(033133)(22---++=+++=x x x x x x x f ，可以看成是两点()()0,1,33,2-++x xx 之间连线的斜率，而()33,2++x x x 是动点，恰好构成332++=x x y 的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。

例9．求函数133)(2+++=x x x x f 在[]10，的值域 解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。

令1+=x t ，[]2,1∈t ，原函数变为1112++=++tt t t t 画出对勾函数的图像，可以得到t t 1+的值域范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡252，，则最后函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡273，题型四：三角函数的值域例10． 求函数2cos 4sin 3)(++=x x x f 的值域解答：使用辅助角公式，()2sin 52cos 4sin 3)(++=++=ϕx x x x f ，可知函数的值域为[]73，例11． 求函数2cos 4sin23)(2++=x x x f 的值域解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式，()42sin 13222cos 22sin 32cos 4sin23)(2++=+++=++=ϕx x x x x x f 可知函数的值域为[]134134+-，例12． 求函数2cos 4cos2)(++=x x x f 的值域解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。

1cos 4cos 22cos 41cos 22cos 4cos2)(22++=++-=++=x x x x x x x f 令[]1,1,cos -∈=t x t ，则原函数化为()11214222-+=++t t t ，则按前面的例题可得函数的值域为[]31，-，例13． 求函数x x x x f sin 2cos 2sin2)(-+=的值域解答：利用()()2cos sin 121cos sin cos sin 22x x x x x x --=-+=来换元。

()()()x x x x x x x x f cos sin 2cos sin 1cos sin 2cos sin 2)(2----=--=令[]2,2,cos sin -∈-=t x x t ，则原函数化为122+--t t ，同理，按二次函数的值域求法，可得结果[]221，--。

例14． 求函数3cos sin )(+=x xx f 的值域解法一：辅助角公式法。

类似于二次分式的判别式法，令3cos sin +=x xy ，则可得x y x y x y x y cos sin 3,sin 3cos -==+，利用辅助角公式后()()ϕϕ+=+++=x yy x y y sin 13,sin 1322，则要求1132≤+yy ，可解出值域范围⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222， 解法二：解析几何法。

三角分式也可以看为()3cos 0sin ---x x ，即两点()()x x sin ,cos ,0,3-连线的斜率，其中()x x sin ,cos 是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222， 例15． 求函数3cos sin )(+=x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ，上的值域解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点()x x sin ,cos 构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3333， 题型五：绝对值函数的值域例16． 求函数15)(--+=x x x f 的值域解法一：零点分类讨论法。

当1≥x 时，6)(=x f ；当5-≤x 时，6)(-=x f ；当15≤≤-x 时，42)(+=x x f 。

所以函数的值域为[]66，- 解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，15-+x x 与分别表示x 到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为[]66，-例17． 求函数322)(22-+-+=x x x x x f 的值域解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令[)+∞-∈+=,1,22t x x t，则原函数化为3--t t ，则根据数轴法，可以得到函数的值域为[]33，-题型六：根式函数的值域例18． 求函数x x x f -+=1)(的值域解法一：换元法，令[)+∞∈-=,0,1t x t，则原函数化为12++-t t ，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45。

解法二：解析几何法，令[)+∞∈-=,0,1y x y ，y x x f z +==)(，可得zx y +-=，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过[)+∞∈-=,0,1y x y 上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45 例19． 求函数x x x f ++=1)(的值域解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果[)+∞-,1解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域[)+∞-,1，代入可得函数的值域[)+∞-,1。

例20． 求函数21)(x x x f -+=的值域解法一：三角换元法，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππθθx ，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=-+=-+4sin 2cos sin cos sin sin 1sin 122πθθθθθθθx x 注意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，画出三角函数图像可得值域为[]2,1-。

解法二：解析几何法，令[]1,0,12∈-=y x y ，y x x f z +==)(，可得zx y +-=，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过[]1,0,12∈-=y x y ，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域[]2,1-例21． 求函数212)(x x x f ++=的值域解法一：三角换元，类似于上一道题，令⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππθθx ，这样可以得到θθθθθθcos 2sin cos 2tan tan 12tan 1222+=+=++=++x x ，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为[)+∞,3解法二：解析几何法，类似于上一道题，令[)+∞∈+=,1,12y x y ，y x x f z 2)(+==，可得2zx y +-=，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过[)+∞∈+=,1,12y x y 即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域[)+∞,3。