习题22.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为361，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X PX 的概率分布为 满足：1362/652636543212366)(122=⨯⨯+=+++++==∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}kP X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a2.2解：由于11111)(1--∞=-∞=-====∑∑e e a aek X P k kk ，故1111-=-=--e ee a 2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。

2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有 （1） 两人投中次数相同的概率为 （2） 甲比乙投中次数多的概率为5628.0)]1()0()[2()0()1()()()(2==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}12k P X k ==， k=1，2，….求 （1）{}2,4,6,...P X =； （2）{}2.5P X ≥；2.4解：（1）{}4.015615321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P （2）{}2.01531521)2()1(5.25.0==+==+==<<X P X P X P 2.5设离散随机变量X 的概率分布为 {}15kk X P ==， k=1，2，3，4，5.求（1）{}13P X ≤≤； （2）{}0.5 2.5P X <<；2.5解：（1）{}314/114/14121)2(,...6,4,21121=-======∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k X P X P （2）25.0412/118/121)()3(33==-====≥∑∑∞=∞=k kk k X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4，当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率.（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；2.6解：设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数，设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数，则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X（1）所求概率为： （2）所求概率为：2.7 某城市在长度为t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。

2.7解：（1）设X 为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X 服从参数为5.15.03=⨯=λ的泊松分布，所求概率为（2）设Y 为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y 服从参数为25.04=⨯=λ的泊松分布，所求概率为2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。

假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.2.8解：设X 为180台机器同时发生故障的台数，则)8.1()01.0,180(~P B X ≈，设需要n 个维修人员才能保证{}99.0≥≤n X P ，即01.0)1(≤+>n X P ，现在8.1!8.1)(-==e k k X P k ，于是1.0)(1==∑∞+=n k k X P ，查表得6,71==+n n ，即6个维修人员可满足要求。

其它2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为： 求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。

2.9解：设事件A 为元件寿命大于1500小时，则设Y 为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则)3/1,5(~B Y ，所求概率为： 2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： 假设每天供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。

若每天供电量上升到90万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？ 2.10解：（1）若供电量为80万千瓦小时，则供电量不足的概率为：（2）若供电量为90万千瓦小时，则供电量不足的概率为：2.11设随机变量~(2,4)K U -，求方程22230x Kx K +++=有实根的概率.2.11解：K 的密度函数为： 则方程有实根的概率为：2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X （单位：小时）服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率：（1）发射管的寿命不超过100小时； （2）发射管的寿命超过300小时。

（3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。

2.12解：X 的密度函数为： （1） 所求概率为 （2） 所求概率为（3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为2.13 设每人每次打电话的时间X （单位：分钟）服从参数为0.5的指数分布，求282人次所打电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率。

2.13解：设A 为事件“打电话时间超过10分钟”，X 为打电话时间，则X 服从参数5.0=λ的指数分布，即)5.0(~Exp X ，于是设Y 为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次，则)9.1()282(),282(~P p P p B Y =≈。

所求概率为2.14 某高校女生的收缩压X （单位：毫米汞柱）服从2(110,12)N ,求该校某名女生： （1）收缩压不超过105的概率；（2）收缩压在100至120之间的概率。

2.14解：（1）收缩压不超过105的概率为：3372.06628.01)42.0(1)42.0(10110105)105()105(=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==≤F X P （2）收缩压在100至120之间的概率为：2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性的身高X （单位：厘米）服从正态分布2(170,6)N ，问车门的最低高度应为多小？ 2.15解：设车门最低高度为a ，则01.0)(≤≥a X P ，即反查标准正态分布函数表得33.26/)170(≥-a ，即18498.18333.26170≈=⨯+≥a ，即车门最低高度为184厘米。

2.16 .20同类型产品中有2件次品，其余为正品，今从该20件产品中每次任取4次，每次只取1件，取后不放回，以X 表示4次取到正品的件数，求X 的分布律与分布函数. 2.16解：这是一个超几何分布问题，即X 的概率分布为 即XX 的分布函数为：2.17 .袋中有同类型的小球5只，编号分别为1,2,3,4,5，今在袋中任取小球3只，，以X 表示3总小球的最小号码，求随机变量X 的分布律与分布函数. 2.17解：XX 的分布函数为：2.18.设连续型随机变量X 的分布函数为（1）求{}2,P X < {}03,P X <<{}2 2.5.P X <≤. （2）求X 的密度函数.2.18解：(1) 因为X 是连续型随机变量，故 （2）X 的密度函数为2.18.设连续型随机变量X 的分布函数为（1）求常数,a b 和（2）求X 的概率密度函数，（3）求P X <<2.19解：（1）由于a x F F x ==+∞=+∞→)(lim )(1，得1=a ，又由于)(x F 在0=x 点右连续，可得b a x F F x +===+→)(lim )0(00，即得1,0-==+b b a（2）X 的密度函数为（3）因为X 是连续型随机变量，故 2.20.求型随机变量Y 的概率分布:(1) 2)2(π-=X Y , (2) )2(π-=X COS Y . 2.20解：（于是即得2)2(π-=X Y 的分布律：(2) 由X于是即得)2(π-=X COS Y 的分布律：2.21.设型随机变量的分布函数为（1）求X 的概率分布（2）求y x =X 的概率分布。

2.21解：（（2）||X X 的概率分布为：2.22.设随机变量~(0,1)X N ，求下列随机变量Y 的概率密度函数：2(1)Y 21;(2)Y ;(3)X X e Y X -=-==，求1Y X =-的密度函数.2.22解：X 的密度函数和分布函数分别为：2221)()(x X ex x f -==πφ，)()()(x X P x x F X ≤=Φ=，且有)()()(')('x f x x x F X X ==Φ=φ（1）12-=X Y 的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中⎪⎭⎫⎝⎛+Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=≤-=≤=2121)12()()(y y X P y X P y Y P y F Y ，因此Y 的密度函数为 （2）XeY -=的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中⎩⎨⎧>-≥≤=≤=≤=-0),ln (0,0)()()(y y X P y y e P y Y P y F X Y ， 当0>y 时于是Y 的密度函数为（3）2X Y =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中⎩⎨⎧>-Φ≤=⎩⎨⎧>-Φ-Φ≤=⎩⎨⎧>≤≤≤=≤=≤=.0,1)(2,0,00),()(,0,00,(,0,0)()()(2y y y y y y y y y X y P y y X P y Y P y F Y ，于是Y 的密度函数为2.23.设随机变量~U(0,)X π，求下列随机变量Y 的概率密度函数：(1)Y 2ln ;(2)Y cos ;(3)sin .X X Y X ===，求1Y X =-的密度函数.2.23解：X 的密度函数和分布函数分别为：⎩⎨⎧<<=其他，,0,0,/1)(ππx x f X ，)()(x X P x F X ≤=， 且有)()('x f x F X X =（1）X Y ln 2=的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=≤=22)ln 2()()(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F ， 因此Y 的密度函数为（2）X Y cos =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 于是Y 的密度函数为（3）X Y sin =的密度函数和分布函数分别为)()(),(y Y P y F y f Y Y ≤=，其中 于是Y 的密度函数为第二章综合练习1. 填空题（1）． 已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 k P 0.1 0.2 0.4 p 则：p = 0.3 。