台州市2012学年第二学期高一期末质量评估试题数 学 2013．7命题：路桥中学 台州中学审题：黄岩中学一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 2．已知1e ，2e 是不共线的两个向量，则下列各组中的a ，b 不能构成基底的是A ．12a e = ，23b e =-B ．1222a e e =+ ，12b e e =-C ．122a e e =- ，1224b e e =-+D ．122a e e =+ ，122b e e =+3．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ A ．12 B ．12- C ．2- D ． 2 4．在等差数列{}n a 中，且34914a a a +++= ，则6a ＝A ．1B ．2C ．4D ． 75．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝A B ． C D ． 6．已知实数x 满足20x x +<，则x ,x -,2x 的大小关系是A ．2x x x -<<B ．2x x x <-<C ．2x x x <<-D ．2x x x <<- 7．平面向量a 与b 的夹角为60 ，2a = ,1b = ，则2a b + ＝A B ． C ．4 D ．128．已知向量(34)a =- ，　，(11)a =- ，　，则向量a 在b 方向上的投影为A． BC ．75-D ．759．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B = ．如果△ABC 有两个解，那么x 的取值范围A ．1x >B ．01x <<C ．12x <<D ．12x <≤10．在数列{}n a 中，1=0a ，1n a +=，则2013a ＝ A． BC ．0 D．11．定义12nn x x x ++ 为n 个正数12,,,n x x x 的“平均倒数”．若正项数列{}n a 的前n 项的“平均倒数”为121n +，则数列{}n a 的通项公式为n a ＝ A ．21n + B ．21n - C ．41n - D ． 41n +12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形13．数列{}1n n a a +-是一个首项为2，公差为2的等差数列，1=1a ，若4373m a <<，则m ＝A ．6B ．7C ．8D ．914．已知O 是△ABC 的外心，且OA OB OC +=，AB = ，P 是线段AB 上任一点（不含端点），实数λ，μ满足CA CB CP CA CBλμ=+ ，则11λμ+的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．若tan 2α=，则tan 2α＝ ▲ ．15．已知点(3,4)M -和向量(1,2)a =- ，若2MN a =- ，则点N 的坐标为 ▲ ．17．已知等比数列{}n a 满足542a a =，21a =，数列{}n a 的前n 项和n S ，则6S ＝ ▲ ．18．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且(1)f a =-，又 23a c b >>，则b a的取值范围是 ▲ ．19．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅ ＝ ▲ ．20．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，则122013111[]222a a a ++++++ 的值 等于 ▲ ． 20修改意见．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ① 数列}{n a 单调递增；② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④ [].32013=S 以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．答案：①③④三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分7分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a .（Ⅰ）若b = ，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥- ，求c .22．（本小题满分7分） 已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值． （第19题图） E D B A C23．（本小题满分8分）已知2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，求()1f x ≤的解集；（Ⅱ）当(1)(3)0f f ==，且当(13)x ∈，时，()1f x ≤恒成立，求实数a 的最小值．24．（本小题满分8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC，求a 的值．25．（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n n a a b a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．台州市2012学年第二学期期末质量评估高一数学参考答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B8．A 9．C 10．D 11．C 12．A 13．C 14．B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）15．43- 16．(1,0) 17．632 18．54(,)25-- 19．1- 20．3 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．解：（Ⅰ） //b a , 设(,2)b a λλλ== , ……………… 1分 则222445b λλ=+= , ∴29λ= ……………… 2分∴3λ=±∴(3,6)b = 或(3,6)b =-- . ……………… 3分（Ⅱ） cos θ= ∴1cos 2a c a c c θ⋅==- ． ………… ……4分 又 ()(9)a c a c +⊥- ，∴()(9)0a c a c +⋅-= ……………… 5分 ∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= ……………… 6分解得1c = 或59c =- （舍） ∴1c = ………………7分 22．解：（Ⅰ）22()cos ()sin 121212f πππ=-- ……………… 1分 cos 6π= ……………… 2分=……………… 3分 （Ⅱ）11()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x π=+--- ……………… 4分 1[cos(2)cos 2]23x x π=-+132cos 2))223x x x π=+=+ ……………… 5分因为[0,]2x π∈，所以42[,]333x πππ+∈， ……………… 6分所以当232x ππ+=，即12x π=时，()f x ． ………… … 7分 23．解：（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，2()241f x x x =-++≤即2230x x --≥， ……………… 1分()()310x x ∴-+≥，1x ∴≤-，或3x ≥． ……………… 3分（Ⅱ）因为(1)(3)0f f ==，所以()()()13f x a x x =--， ……………… 4分()()()131f x a x x =--≤在()1,3x ∈恒成立，即()()113a x x -≤--在()1,3x ∈恒成立， ……………… 5分而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当13x x -=-，即2x =时取到等号． …………… 6分 ()()1113x x ∴≥--， ……………… 7分所以1a -≤，即1a ≥-．所以a 的最小值是1- ……………… 8分（Ⅱ）或解：()()()131f x a x x =--≤在()1,3x ∈恒成立，即()()1310a x x ---≤在()1,3x ∈恒成立．令()()22()131431(2)1g x a x x ax ax a a x a =---=-+-=---．………… 4分 ①当0a =时，()10g x =-<在()1,3x ∈上恒成立，符合； ……………… 5分 ②当0a >时，易知在()1,3x ∈上恒成立，符合； ……………… 6分 ③当0a <时，则10a --≤，所以10a -≤<． ……………… 7分综上所述，1a ≥-所以a 的最小值是1-． ……………… 8分24. 解：（Ⅰ）cos sin B b A +=，由正弦定理可得cos sin sin A B B A C +=)A B =+． ……………… 1分cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=． ……………… 2分即sin sin sin B A A B =，sin A A ∴= ……………… 3分tan A ∴=，60A ∴=︒． ……………… 4分注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =同样给分（Ⅱ） b =，ABC ∆∴1sin 2ABC S ab C ∆==． 2sin 2a C ∴=，22sin C a ∴= ① ……………… 5分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-∴224cos 4a C -=，cos C ∴=② ……………… 6分 由①，②得：22221a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 化简得428160a a -+=，……………… 7分 ()2240a ∴-=， ∴2a = ……………… 8分（Ⅱ）或解：由1sin 2ABC S ab C ∆== 2sin 2a C = ① ……………… 5分由224cos 4a C -=得 2(2cos )2a C -= ② ……………… 6分由①，②得：sin 2C C =，即πsin()13C +=， ……………… 7分 π6C ∴=，224sin a C==． ∴2a =． ……………… 8分25．解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ≠ ∴12a d =． ………………1分又 23a =，∴13a d +=12,1a d == ……………… 2分 1n a n ∴=+． ……………… 3分 （Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++． ……………… 4分 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++ 1122222(2)n n n n n =+-=+++． ……………… 6分 （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n nλλ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n nλ+++-=--<+对*∈N n 都成立 ……………… 7分 即max 2(3)22(3)20()11n n n n n n n nλλ++++--<⇒>-++ ……………… 8分 设2(3)2()1n n f n n n++=-+ 2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n+++++-=--++++ 2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 42621321n n n =+++--++ ()()()2212n n n n -=++ ……………… 9分 (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24()13n n n n ++-=+ 所以43λ>． ……………… 10分。