重庆市南开中学高2020级高二（下）期末考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =（ ）A. RB. ()-∞，4C. ()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-， D. ()()13∞⋃+∞－，－， 【答案】C 【分析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤， 于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭U -，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.2.设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案.【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故 答案为A.【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.3.复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A. [11]－， B. ()1∞－，－ C. ()11－， D. ()1+∞， 【答案】C 【分析】首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】根据题意得，()1(1)1111222ai i ai a az i i ----+===-+，因为复平面内对应的点 在第四象限，所以1021+02a a -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.4.已知0a <，若4(2x -的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A. 1 B. 8C. 24D. 32【答案】B 【分析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，在4(2x -中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.5.在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）A. 1(,)23π-B. 1(,)23πC. (1,)3π-D. (1,)3π【答案】A由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=-，∴2212x y x y +=-，化为2211()(444x y -++=， ∴圆心为1(,)44-，半径r=12．∵tan α=3π-， ∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-． 故选A ．6.从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ） A.184B.142C.128D.114【答案】D 【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.7.如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A.23e - B.13e - C.43e- D.53e- 【答案】D 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案.【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.8.已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 3【答案】D 【分析】首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于()3312,2a b a b+=>>，而2=26x y a b ++-， ()33632=2=9+9b a a b a ba b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭，故2x y +的最小值为3，故答案为D.【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.9.命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1()1xx h x e +=-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3-+∞，B. ()3-∞-，C. (]3-∞，D. R【答案】B 【分析】通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案.【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B.【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.10.2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A. 84B. 48C. 36D. 28【答案】A 【分析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力， 计算能力，难度中等.11.给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞，>则a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【分析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，>a b >”的逆命题为“若a b >>确；对于③，若1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C.【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.12.已知函数2()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (-1,0)B. 1,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,)+∞小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【详解】根据题意，得()22xf x e ax a '=++，若()f x 有最小值，即()f x 在(0,)+∞ 上先递减再递增，即()f x '在(0,)+∞先小于0，再大于0，令()0f x '<，得：2(1)xe a x <-+，令(),()2(1)xg x e h x a x ==-+，只需()h x 的斜率2a -大于过()1,0-的()g x 的切线的斜率即可，设切点为()00,x x e，则切线方程为：000()x x y ee x x -=-，将()1,0-代入切线方程得：0=0x ，故切点为()01，，切线的斜率为1，只需21a ->即可，解得：12a <-，故答案为C.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞ 【分析】通过A B ⋂≠∅，即可得到答案.【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.14.一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中。