导数的概念一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．2．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣13．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣24．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．6．（2010•江西模拟）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1 8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或79．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2 10．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．分米/分钟13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x214．如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A．2B．1C．0D．﹣115．设f（x）是可导函数，且=（）A．﹣4 B．﹣1 C．0D．16．若f′（x0）=2，则等于（）D．A．﹣1 B．﹣2 C．﹣二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=_________．18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=_________．20．如果函数f（x）=cosx，那么=_________．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）_________f（1）（填“＞”“＜”或“=”）2013年10月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．考点：导数的几何意义．分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．2．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣1考点：导数的几何意义．分析：利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．解答：解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选项为A点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2考点：导数的几何意义．分析：（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．解答：解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为2．∴﹣a=2即a=﹣2故选D．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．解答：解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．B．C．D．[0，）考点：导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．解答：解：因为y′==∈[﹣1，0），即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选D．点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．3A．30°B．45°C．60°D．120°考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．解答：解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．7．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．解答：解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或7考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．解答：解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，此直线是y=x3的切线，故仅有一解，由△=0，解得a=﹣②当时，切线方程为，由，∴a=﹣1或a=．故选A点评：熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax2+bx+c的式子，应讨论a是否为0．9．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2考点：导数的几何意义．分析：已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．解答：解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选D．点评：本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．10．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．解答：解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）＞2恒成立f'（x）=+x＞2在（0，+∞）上恒成立则a＞（2x﹣x2）max=1故选B．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：变化的快慢与变化率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：∵表示（x，f（x））点与原点连线的斜率若=…=，则n可以是2，如图所示：n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4故选B点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．分米/分钟考点：变化的快慢与变化率．专题：应用题．分析：圆锥的轴截面是个等边三角形，设经过t分钟的水面高度为h，求出水面的半径，用t和h表示经过t分钟圆锥形容器内水的体积，解出h，并求出它的导数，t=时的导数值，就是注入水的高度在分钟时的瞬时变化率．解答：解：由题意知，圆锥的轴截面是个等边三角形，经过t分钟的水面高度为h，则水面的半径是h，t分钟时，圆锥形容器内水的体积为9.3t=π••h，∴h3==27t，∴h=3 ，∴h′=，t=时，h′==32=9，故选B．点评：本题考查圆锥的体积公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率．13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x2考点：变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．解答：解：∵△y=2（1+△x）2﹣1﹣1=2△x2+4△x，∴=4+2△x，故选C．点评：本题考查△y的意义，即函数在点（1，1）的变化量，先求△y，即可得到．A．2B．1C．0D．﹣1考点：导数的概念；偶函数．专题：阅读型．分析：由函数为偶函数得到f（x）等于f（﹣x），然后两边对x求导后，因为导函数在x=0有定义，所以令x等于0，得到关于f′（0）的方程，求出方程的解即可得到f′（0）的值．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x），此时两边对x求导得：f′（x）=﹣f′（﹣x），又因为f′（0）存在，把x=0代入得：f′（0）=﹣f′（0），解得f′（0）=0．故选C点评：此题考查了导数的运算，考查偶函数的性质，是一道综合题．15．设f（x）是可导函数，且=（）A．﹣4 B．﹣1 C．0D．考点：导数的概念．专题：计算题．分析：由导数的概念知f′（x0）=，由此结合题设条件能够导出f′（x0）的值．解答：解：∵=2，∴f′（x0）==﹣4故选A．点评：本题考查导数的概念，解题时要注意极限的应用，属于基础题．16．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．D．﹣考点：导数的概念；极限及其运算．专题：计算题．分析：由导数的定义知f′（x0）=，由此提出分母上的数字2能够求出的值．解答：解：∵f′（x0）==2==故选A．点评：本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题．二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x∴f（x）=+1，故f′（1）=1+1=2故答案为2点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为1．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．解答：解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．点评：此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=﹣．11 / 12考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先求得函数的导数，然后根据f'（x）=0，求出x的值．解答：解：∵函数y=x•2x f'（x）=0∴y'=2x+x（2x）'=2x+x2x ln2=2x（1+xln2）=0∵2x恒大于0∴1+xln2=0∴xln2=﹣1∴x=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了导数的运算，熟练掌握导数运算法则是解题的关键，属于基础题．20．如果函数f（x）=cosx，那么=．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题．分析：根据解析式求出和f′（x），再求出，代入求解即可．解答：解：由题意知，f（x）=cosx，∴=cos=，f′（x）=﹣sinx，∴=﹣sin=﹣=，故答案为：．点评：本题考查了求导公式的应用，以及求函数值，属于基础题．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）＞f（1）（填“＞”“＜”或“=”）考点：导数的运算；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：先对f（x）=x3+2xf'（2）两边求导，然后令x=2可解得f′（2），从而得到f（x），计算出f（﹣1），f（1）可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2f′（2），令x=2，得f′（2）=3×22+2f′（2），解得f′（2）=﹣12，所以f（x）=x3﹣24x，则f（﹣1）=23，f（1）=﹣23，所以f（﹣1）＞f（1），故答案为：＞．点评：本题考查导数的运算、不等式与不等关系，属基础题．12 / 12。