显函数.隐函数.参数方程求导总结
我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。

显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。

在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。

如：()sin cos x x '=`
()x
x
e e '
=`
()2
1arcsin 1x x
'=
-等等。

刚开始的时候是一
些很明显的函数。

如：sin y x =. 2
455y x x =++ x
y e =等。

而后来的我
们又学习了一些复合函数。

如
x y e =
1
sin
y x =等。

这时我们就必须
设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()(
)()y x f u x ϕ
'''=。

等到了大学我们就碰到了像
3
10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。

而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。

这样就可以用显函
数的求导方法了。

例如310x y =-=可以化为3
1y x =-。

但实际问题中，
有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 方程0y
e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy
dx 。

解 方程两边分别对x 求导
(
)()0y
d e xy e dx '+-=
y dy dy e y x dx dx ++=
从而y
dy y dx x e =-+ y
x e +=()
例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22
d y dx 。

解 方程两边对x 求导
()1cos 02x y y '⎛⎫'
-+= ⎪⎝⎭
11cos 02dy dy y dx dx -+=
22cos dy dx y
=
-
方程两边再对x 求导
()()223
22sin 4sin 2cos 2cos dy dx
d y y y dx y y --==
--
之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。

但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 已知参数方程为sin cos x t y t =⎧⎨
=⎩（t 为参数），求dy
dx 。

解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt
t
t dy dy dt
t dx dt dx
t
t '===
=-
'
例 已知参数方程2
21t x y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数），求2
2
d y dx 。

解 由公式
()()2
2
11dy dt dx t dt
t dy dy dt
dx dt dx
t
'-====-
'
则
()
()
()
()2 21
23
2
1
dy
dx
dy
dx t t
dx
t
x dt
t
d
d
d y dy dt dt
dx dx dt dx t
'
'-
⎛⎫
=====
⎪'
⎝⎭
综上所述就是我在上学期对显函数.隐函数.参数方程求导总结，希望老师给予评价。