第5节：隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。
教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。
教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。
教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yx F F dx dy-= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得.yx F F dx dy-= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dx dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶和二阶导数yx F F dx dy-==y x -，00==x dx dy ;22dx y d =,1)(332222y y x y y y xx y y y x y -=+-=---='--1022-==x dx y d 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有x z∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -. (4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得 x F +zF xz∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0。
因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -。
例2 设04222=-++z z y x ，求.22xz∂∂解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得x z ∂∂=zx -2。
再一次x 对求偏导数，得22xz∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=.)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-= 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增加方程的个数，例如，考虑方程组 ⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。
在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=vG u Gv F uF∂∂∂∂∂∂∂∂ 在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有xu∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u vu v x v xG G F F G G F Fxv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,vuv u x u x uG G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,v v v uv y v yG G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.vuv u u uG G F F G G F F y y这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。
由于 F [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, G [y x ,,u ),(y x ,v ),(y x ]≡0, 将恒等式两边分别对x 求导，应用复合函数求导法则得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x vG x u G G x v F x u F F v u x v u x这是关于x u ∂∂, xv∂∂的线性方程组，由假设可知在点),,,(00000v u y x P 的一个邻域内，系数行列式=J vuvuG G F F ,0≠ 从而可解出x u ∂∂, xv ∂∂，得 x u ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂, xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂.同理，可得y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂, y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂. 例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv∂∂. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。
下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x ux 在022≠+=-=y x xyy x J 的条件下，.,2222y x xv yu xy y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22yx yv xu y v ++-=∂∂ 例4 设函数),(),,(v u y y v u x x ==在点(v u ,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，又.0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),,(v u y v u x x (7)在点),,,(v u y x 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数),(),,(y x v v y x u u ==。
(2)求反函数),(),,(y x v v y x u u ==对y x ,的偏导数。
解 (1)将方程组(7)改写成下面的形式 ⎩⎨⎧=-≡=-≡.0),(),,,(,0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x x u y x F则按假设 =∂∂=),(),(v u G F J .0),(),(≠∂∂v u y x由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。
(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(y x v v y x u u ==代入（7），即得 ⎩⎨⎧≡≡)].,(),,([)],,(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂•∂∂=∂∂∂∂+∂∂•∂∂=.0,1x v v y x u u y x v v x x u u x由于J ≠0，故可解得,1v y J x u ∂∂=∂∂ .1uy J x v ∂∂-=∂∂ 同理，可得,1v x J y u ∂∂-=∂∂ .1ux J y v ∂∂=∂∂小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。
作业：89P 习题9-5 1、4、10（2）（4）、11．。