第六章 无穷级数
n 1
n 1
① 由 vn 收敛，可推断 un 亦收敛；
n 1
n 1
② 由 un 发散，可推断 vn 亦发散．
n 1
n 1
6.1 常数项级数
1
例 讨论 p 级数 n1 n p 的敛散性（ p 0 ）．
1 1
解：① 当 p 1时， n1 n p n1 n 为调和级数，发散．
S
n
S ，则称级数
un
n 1
收敛，并称极限值 S 为级数
un
n 1
的和，记为 un n 1
= S ．如果部分和数列 Sn 没有极限，则称级数 un 发散． n 1
6.1 常数项级数
1
例 讨论级数 n1 n(n 1) 的敛散性．
解：通项 un
1 n(n 1)
1 n
解： un
1 n ，显然有 un1
1 n 1
1 n
u
n
，且
lim
n
u
n
lim 1 n n
0 ，所以
该级数是收敛的．
将级数
(1)n1 1 的每一项取绝对值后变成调和级数
1
是发散的，于
n1
n
n1 n
(1)n1
是我们称
n 1
n
为条件收敛级数．
②
当
1 p 1时， n p
1
n ，由比较判别法知 n1
1 np
发散．
③
1 当 p 1时， n1 n p
1
(
1 2p
1 3p
)
1 (4p
1 5p
1 6p
1 7p
)
L
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
L
n1
(
1 2 p1
若 un 收敛，但 | un | 发散，则称 un 是条件收敛级数；若 un 收
n 1
n 1
n 1
n 1
敛， | un n 1
| 也收敛，则称 un n 1
为绝对收敛级数．如 (1) n1 n1
1 n2
是绝对收
敛级数．
6.2 幂级数
6.2.1 幂级数的概念
f (x) f (x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0 )n
f (n1) ( ) (n 1)!
(x
x0
) n1 ．
在 x 与 x0 之间．称上式为 f (x) 的泰勒展开式或泰勒公式，其中
Rn (x)
第六章 无穷级数
无穷级数是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具，它主 要包括常数项级数和函数项级数两部分．
第六章 无穷级数
6.1 常数项级数 6.2 幂级数 6.3 函数的幂级数展开式 6.4 傅里叶级数
6.1.1 常数项级数的基本概念
6.1 常数项级数
定义 1 设给定数列 u1, u2 , , un , ，则将式子 u1 u2 un 称为
常数项无穷级数，简称数项级数，记作 un ，即 n 1
un = u1 u2 un ，
n 1
其中 u n 称为级数的通项或一般项．
定义 2 如果当 n 时，级数 un 的部分和数列 Sn 有极限 S ，即 n 1
lim
n
n1
n 1
数敛散性的判别方法如下：
如果交错级数 (1)n1un (un 0) 满足： n1
① un1 un (n 1, 2,3L ) ；
②
lim
n
un
0．
则该交错级数收敛，且其和 S u1 ．
(1)n1
例 判定级数 n 1
n
的敛散性．
6.1 常数项级数
f (n1) (x) (n 1)!
x
n1
．
称为 f (x) 的麦克劳林展开式．
6.3 函数的幂级数展开式
例 写出函数 y e x 的麦克劳林展开式．
解： f (k) (x) e x ， f (k) (0) 1 ， (k 0,1,2, , n) ， f (n1) (x) ex ． 所以， y e x 的麦克劳林展开式为
f (n1) ( ) (n 1)!
(x
x0
) n1
称为 f (x) 的 n 阶泰勒余项．
在泰勒展开式中，当 x0 0 时，记 x ，（ 0 1），公式成为
f (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) x n n!
6.1.3 级数收敛与发散的判定方法
1.正项级数收敛性的判定
如果级数 un 中的每一项均非负，即 un 0 (n 1, 2,3,L ) ，则称该级 n 1
数为正项级数．
（1）比较判别法
设 un ， vn 均为正项级数，且 un vn (n 1, 2,3,L ) ，则
n0
n0
n0
这性质表明幂级数在收敛区间内可以逐项求导．
6.2 幂级数
例
求幂级数
n0
x 2n1 2n 1
的和函数，并求级数
n0
1 ( 1 )2n1 2n 1 2
的值．
1
解：因为
lim
n
2(n
1) 1
1
1，所以
R
1 ．又
x2n1 2n 1
1.函数的项级数
设 u1(x),u2 (x),L ,un (x),L 都是定义在数集 E 上的函数，则和式
u1 (x) + u2 (x) +…+ un (x) +… un (x) (1) n 1
称为定义在数集 E 上的函数项级数， un (x) 称为一般项或通项．
当 x 在数集 E 上取某个特定值 x0 时，级数（1）就是一个数项级数．如果这个数项级
n 1
n 1
n1
性质 3
若
n 1
un
收敛，则
lim
n
u
n
0．
n
例 判别级数 n1 10n 3 的敛散性．
解：因为 un
n 10n
3
，
lim
n
un
n lim n 10n 3
1 10
0，
n
所以级数 n1 10n 3 发散．
6.1 常数项级数
ex
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
(n
1
1)!
ex
x
n1
．
为了计算 e 的近似值，可在上式中取 x 1，得 e 的表达式为
n
例
讨论级数 n 1
2n
的敛散性．
n 1
解：lnim
u n 1 un
lim 2n1 n n
lim
n
n 1 2n
1 2
1，根据比值判别法，级数
n 1
n 2n
收敛．
2n
6.1 常数项级数
2.交错级数收敛性的判定
设 un 0 ，则级数 (1)n1un （或 (1)n un ）称为交错级数．交错级
n0
an n 1
x n1
．
这性质表明幂级数在收敛区间内可以逐项积分．
性质 4 如果幂级数 an xn 的收敛半径 R 0，则在收敛区间 (R, R) 内， n0
其和函数 S(x) 是可导的，并且有
S (x) ( an xn ) (an xn ) nan x n1 ．
x 2n1 1 1 x
n0
2n
1
ln 2
1
x
，
x (1,1)
．
1 ( 1 )2n1
n0 2n 1 2
1 ln 1 x 2 1 x
x1
1 2
ln
3
．
2
6.3 函数的幂级数展开式
6.3.1 泰勒级数
1.泰勒展开式
设 y f (x) 在 x0 的某邻域内有直至 n 1阶的导数，则对此邻域内任意 x 有
其和函数 S(x) 是连续函数．
6.2 幂级数
性质 3 如果幂级数 an xn 的收敛半径 R 0，则在收敛区间 (R, R) 内， n0
其和函数 S(x) 是可积的，并且有
x
S (t )dt
0
x
(
0
ant n )dt
