回答第三个问题是本讲的重点。事实上，从上一讲的赌博事例 已经看到，当效用函数的性能发生了“凸性线性凹性”的变化 时，消费者对待风险的态度相应地发生了“爱好中性厌恶”的 变化。由此得到一个猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险 规避倾向越强。我们将证明这一猜想是正确的，由此便可引出一种 对人们规避风险的倾向强弱进行测定的办法——风险厌恶度量。
计算预期效用
令 p = P(F)，q = P(G)。则 P(F c ) 1 p, P(Gc ) 1 q 。计算这 四种赌博的效用，可得到：
u( A) P(F )u(1000) (1 P(F ))u(0) pu(1000) (1 p)u(0)
u(B) P(G) u(1000) (1 P(G))u(0) q u(1000) (1 q)u(0) u(C) P(F c )u(1000) (1 P(F c ))u(0) (1 p)u(1000) pu(0) u(D) P(Gc )u(1000) (1 P(Gc ))u(0) (1 q)u(1000) qu(0)
有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的 理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现这两 个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉 错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新 发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。
下面，我们介绍这两个悖论。
一、关于预期效用的悖论与争议
关于不确定条件下的选择问题，上一讲建立的预期效用和主观 概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们 在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预 期效用大小来进行评判和选择的。
然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考 察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Paradox 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。
100
11
11
调查发现，很多人都认为 A B且 D C。 A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但 A是稳当地得到100 万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得的数额也相对较小。这样，A明显比B好。 C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买 D 仅以少1%的 可能性就要比购买 C 多得10万元，因而D比C好。
第8讲 风险厌恶度量
预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行 了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准 则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲 在此基础上展开进一步的讨论，主要议题有三个： 预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？ 在风险活动面前，人们的态度如何？ 如何测定人们规避风险的倾向强弱？
(一) Allais Paradox
这是一个关于预期效用的悖论。现有四种彩票A、B、C、D，其 奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。
彩票
A
B
C
D
奖金(万元)
100 110 100
0
100
0
110
0
获奖概率
100% 10% 89% 1% 11% 89% 10% 90%
预期收入(万元这样的启示：一个人对待风险的态度完全反 映在他的偏好关系上。对此，可用预期效用理论加以严格表述。
设消费者的确定性选择集合 X 是商品空间 R 的凸闭子集，消费 者所处的风险环境为(, F)，风险选择集合为 X(或用D)，风险偏好 为 。假定风险偏好 满足阿基米德公理和独立性公理。于是，存
在此式两边加上 u(0)89% 可得： u(100)11% + u(0)89% > u(110)10% + u(0)90%
即 u(C) > u(D)，这与实际调查结果 D C 相矛盾：通过预期效用函数 得到的评价与消费者的实际评价相悖。
那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其 实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的。
计算预期效用
设消费者的预期效用函数为 u。计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90%
根据调查结果 A B，应有 u(A) > u(B)。由此可知： u(100)11% > u(110)10% + u(0)1%
(二) Ellsberg Paradox
这是一个关于主观概率的悖论。情景：袋中有红球、蓝球和绿 球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博 A、B、C、D： A ：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。 B ：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。 C ：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。 D ：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。
从 A B 知：( p- q) u(1000) > ( p- q) u(0)。 从 C D 知：( p- q) u(1000) < ( p- q) u(0)。 这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可 能让 A B 和 C D 同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因 此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。 其实，出现这个悖论，很大的原因还在于评价判断上出现的错 觉。是调查中消费者评价错了，而不是理论错了。
面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿 球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。
通过调查发现，大多数人基本上都认为 A B 且 C D 。作出这 种评价的原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。
用 P 表示赌博者的主观概率测度， u 表示在这个概率测度下的 预期效用函数。用 F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一 事件。则 F c 表示摸出的球不是红球，Gc表示摸出的球不是蓝球。