习题22.1 (2)抛掷一颗匀称质骰子两次, 以X 表示前后两次出现点数之和,求X 的概率分布,并验证其满足(2.2.2)式。
2.1解:样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω,且每个样本点出现的概率均为361,X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,且有 {}{}{}363)2,2(),1,3(),3,1()4(,362)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(=========P X P P X P P X P类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,361)12(,362)11(====X P X PX 的概率分布为36118112191365613659112118136112111098765432kp X 满足:1362/652636543212366)(122=⨯⨯+=+++++==∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}kP X k ae -==, k=1,2,…,试确定常数.a 2.2解:由于11111)(1--∞=-∞=-====∑∑e e a aek X P k kk ,故1111-=-=--e ee a2.3 甲、乙两人投篮,命中率分别为0.7,和0.4,今甲、乙两人各投篮两次,求下列事件的概率:(1)两人投中的次数相同 ; (2)甲比乙投中的次数多。
2.3解:设Y X ,分别为甲、乙投中的次数,则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ,因此有2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k kk k k(1) 两人投中次数相同的概率为∑======23142.0)()()(k k Y P k X P Y X P(2) 甲比乙投中次数多的概率为5628.0)]1()0()[2()0()1()()()(2==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}12kP X k ==, k=1,2,….求 (1){}2,4,6,...P X =; (2){}2.5P X ≥;2.4解:(1){}4.015615321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P (2){}2.01531521)2()1(5.25.0==+==+==<<X P X P X P2.5设离散随机变量X 的概率分布为 {}15kk X P ==, k=1,2,3,4,5.求(1){}13P X ≤≤; (2){}0.5 2.5P X <<;2.5解:(1){}314/114/14121)2(,...6,4,21121=-======∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k X P X P (2)25.0412/118/121)()3(33==-====≥∑∑∞=∞=k kk k X P X P 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4,当A 发生3次或3次以上时,指示灯发出信号,求下列事件的概率.(1)进行4次独立试验,指示灯发出信号; (2)进行5次独立试验,指示灯发出信号;2.6解:设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数,设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数,则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X (1)所求概率为:1792.04.06.04.04)4.01(4.0)4.01(4.0)4()3()3(434444434334=+⨯⨯=-+-==+==≥--C C X P X P X P(2)所求概率为:31744.04.06.04.056.04.010)4.01(4.0)4.01(4.0)4.01(4.0)5()4()3()3(5423555554544535335=+⨯⨯+⨯⨯=-+-+-==+=+==≥---C C C Y P Y P Y P Y P2.7 某城市在长度为t (单位:小时)的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布,且与时间间隔的2无关,求下列事件的概率. (1)某天中午12点到下午15点末发生火灾;(2)某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。
2.7解:(1)设X 为中午12点到下午15点发生火灾的次数,根据题意可知,X 服从参数为5.15.03=⨯=λ的泊松分布,所求概率为22313.0!05.1)0(5.15.10≈===--e e X P(2)设Y 为中午12点到下午16点发生火灾的次数,根据题意可知,Y 服从参数为25.04=⨯=λ的泊松分布,所求概率为59399.031!12!021)]1()0([1)1(1)2(22120≈-=--==+=-=≤-=≥---e e e Y P Y P Y P Y P 2.8 为保证设备正常运行,必须配备一定数量的设备维修人员,现有同类设备180台,且各设备工作相互独立,任一时间设备发生故障的概率都是0.01。
假定一台设备由一人进行修理,问至小配备多小设备维修人员,才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99?.2.8解:设X 为180台机器同时发生故障的台数,则)8.1()01.0,180(~P B X ≈,设需要n 个维修人员才能保证{}99.0≥≤n X P ,即01.0)1(≤+>n X P ,现在8.1!8.1)(-==e k k X P k ,于是1.0)(1==∑∞+=n k k X P ,查表得6,71==+n n ,即6个维修人员可满足要求。
其它2.9 某种元件的寿命X(单位:小时)的概率密度函数为:210001000,,()1000.0,x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩求5个元件使用1500小时后,恰有2个元件失效的概率。
2.9解:设事件A 为元件寿命大于1500小时,则3215001000|10001000)()1500()(1500150015002==-===≥==∞∞∞⎰⎰x dx x dx x f X P A P p 设Y 为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数,则)3/1,5(~B Y ,所求概率为:24380929110)3/11()3/1()2(3325225=⨯⨯=-==-C Y P2.10 设某地区每天的用电量X(单位:百万千瓦)是一连续型随机变量,概率密度函数为: 120(1),01,()0,.x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它假设每天供电量仅有80万千瓦时,求该地区每天的供电量不足的概率。
若每天供电量上升到90万千瓦时,每天的供电量不足的概率是多小?2.10解:(1)若供电量为80万千瓦小时,则供电量不足的概率为:0272.0)2(12)1(12)()8.0(18.0328.018.02=+-=-==>⎰⎰⎰∞dx x x x dx x x dx x f X P(2)若供电量为90万千瓦小时,则供电量不足的概率为:0237.0)2(12)1(12)()9.0(19.0329.019.02=+-=-==>⎰⎰⎰∞dx x x x dx x x dx x f X P2.11设随机变量~(2,4)K U -,求方程22230x Kx K +++=有实根的概率.2.11解:K 的密度函数为:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,,0,42,61)(x x f则方程有实根的概率为:{}{}{}{}{}3161616161)1()3(0)3(,0)1(0)3(,0)1(0)3)(1(0320)32(44431222=+=+=-≤+≥=≤-≤++≥-≥+=≥-+=≥--=≥+-=⎰⎰--dx dx K P K P K K P K K P K K P K K P K K P p2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X (单位:小时)服从参数为0.005的指数分布,求下列事件的概率:(1)发射管的寿命不超过100小时; (2)发射管的寿命超过300小时。
(3)一只发射管的寿命不超过100小时,另一只发射管的寿命在100至300小时之间。
2.12解:X 的密度函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,0,0,2001)(200/x x e x f x(1) 所求概率为 39341.01|)()100(5.01001000200/≈-=-==≤--⎰e e dx xf X P x (2) 所求概率为 22313.0|)()300(5.1300300200/≈=-==>-∞∞-⎰e e dx xf X P x(3) 由于两个事件相互独立,故所求概率为 15.0]][1[)300100()100(5.15.05.0≈--=<<<---e e eX P X P2.13 设每人每次打电话的时间X (单位:分钟)服从参数为0.5的指数分布,求282人次所打电话中,有两次或两次以上超过10分钟的概率。
2.13解:设A 为事件“打电话时间超过10分钟”,X 为打电话时间,则X 服从参数5.0=λ的指数分布,即)5.0(~Exp X ,于是00674.0|5.0)()10()(51010105.05.0≈=-===>==-∞∞∞--⎰⎰e e dx e dx x f X P A P p x x设Y 为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次,则)9.1()282(),282(~P p P p B Y =≈。
所求概率为56625.09.219.11)1()0(1)1(1)2(9.19.19.1=-=--≈=-=-=≤-=≥---eeeY P Y P Y P Y P2.14 某高校女生的收缩压X (单位:毫米汞柱)服从2(110,12)N ,求该校某名女生: (1)收缩压不超过105的概率;(2)收缩压在100至120之间的概率。
2.14解:(1)收缩压不超过105的概率为:3372.06628.01)42.0(1)42.0(10110105)105()105(=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ==≤F X P (2)收缩压在100至120之间的概率为:5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(1011010010110120)100()120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-=≤<F F X P 2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的,设成年男性的身高X (单位:厘米)服从正态分布2(170,6)N ,问车门的最低高度应为多小? 2.15解:设车门最低高度为a ,则01.0)(≤≥a X P ,即99.0617099.0)()(01.0)(1≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≥<=≤<-a a X P a F a X P 反查标准正态分布函数表得33.26/)170(≥-a ,即18498.18333.26170≈=⨯+≥a ,即车门最低高度为184厘米。