第12讲 与相交有关概念及平行线得判定考点·方法·破译1.了解在平面内,两条直线得两种位置关系:相交与平行、2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角得定义,并能用图形或几何符号表示它们、3.掌握直线平行得条件,并能根据直线平行得条件说明两条直线得位置关系、 经典·考题·赏析【例1】如图,三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角与邻补角就是两条直线所形成得图角、⑵对顶角:有一个公共顶点,并且一个角得两边就是另一个角得两边得反向延长线、⑶邻补角:两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线、有6对对顶角、 12对邻补角、 【变式题组】01.如右图所示,直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ,则:⑴∠ARC 得对顶角就是 、 邻补角就是 、⑵中有几对对顶角,几对邻补角？02.当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角; 当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角; 当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角、 问:当有100条直线相交于一点时共有 对顶角、【例２】如图所示,点O 就是直线AB 上一点,OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC.⑴求∠EOF 得度数;⑵写出∠BOE 得余角及补角、【解法指导】解这类求角大小得问题,要根据所涉及得角得定义,以及各角得数量关系,把它们转化为代数式从而求解;【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ,∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 得余角就是:∠COF 、∠AOF ;∠BOE 得补角就是:∠AOE 、【变式题组】01.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠EOC ,且∠EOC ＝100°,则∠BOD 得度数就是( )A .20° B . 40° C .50° D .80°02.(杭州)已知∠1＝∠2＝∠3＝62°,则∠4＝ 、【例３】如图,直线l 1、l 2相交于点O ,A 、B 分别就是l 1、l 2上得点,试用三角尺完成下列作图:⑴经过点A 画直线l 2得垂线、 ⑵画出表示点B 到直线l 1得垂线段、【解法指导】垂线就是一条直线,垂线段就是一条线段、 【变式题组】A CDE FAB C DE F PQ RA BCEFEA ACD O (第1题图)01.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 就是直线l 上三点,且PA ＝4cm ,PB ＝5cm ,PC ＝6cm ,则点P 到直线l 得距离为( )A .4cm B . 5cm C .不大于4cm D .不小于6cm02 如图,一辆汽车在直线形得公路AB 上由A 向B 行驶,M 、N 为位于公路两侧得村庄;⑴设汽车行驶到路AB 上点P 得位置时距离村庄M 最近、行驶到AB 上点Q 得位置时,距离村庄N 最近,请在图中得公路上分别画出点P 、Q 得位置、⑵当汽车从A 出发向B 行驶得过程中,在 得路上距离M 村越来越近、、在 得路上距离村庄N 越来越近,而距离村庄Ｍ越来越远、 【例４】如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥CD ,OF ⊥AB ,∠DOF ＝65°,求∠BOE 与∠AOC 得度数、【解法指导】图形得定义现可以作为判定图形得依据,也可以作为该图形具备得性质,由图可得:∠AOF ＝90°,OF ⊥AB. 【变式题组】 01.如图,若EO ⊥AB 于O ,直线CD 过点O ,∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3,求∠AOC 、∠AOE 得度数、02.如图,O 为直线AB 上一点,∠BOC ＝3∠AOC ,OC 平分∠AOD. ⑴求∠AOC 得度数;⑵试说明OD 与AB 得位置关系、 03.如图,已知AB ⊥BC 于B ,DB ⊥EB 于B ,并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2,请作出∠CBE 得对顶角,并求其度数、【例５】如图,指出下列各组角就是哪两条直线被哪一条直线所截而得到得,并说出它们得名称:∠1与∠2:∠1与∠3:∠1与∠6:∠2与∠6: ∠2与∠4:∠3与∠5: ∠3与∠4:【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角得思路就是:首先弄清所判断得就是哪两个角,其次就是找到这两个角公共边所在得直线即截线,其余两条边所在得直线就就是被截得两条直线,最后确定它们得名称、【变式题组】01.如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中得同旁内角共有( )A .4对B . 8对C .12对D .16对 02.如图,找出图中标出得各角得同位角、内错角与同旁内角、03.如图,按各组角得位置判断错误得就是( )A .∠1与∠2就是同旁内角F BA O C D E C DB AE O B A C DO AB A E D CF EB A D 1 4 2 3 6 5 AB DC H ＧEF7 1 5 6 84 12 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲B .∠3与∠4就是内错角C .∠5与∠6就是同旁内角D .∠5与∠7就是同旁内角【例６】如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ;⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 角,有“”即有内错角、【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ,可推得AD ∥BC ;根据内错角相等,两直线平行、⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°,可推得AD ∥BC ;根据同旁内角互补,两直线平行、 ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ;根据内错角相等,两直线平行、 【变式题组】01.如图,推理填空、⑴∵∠A ＝∠ (已知)∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠C ＝∠ (已知)∴AC ∥ED ( ) ⑶∵∠A ＝∠ (已知) ∴AB ∥DF ( )02.如图,AD 平分∠BAC ,EF 平分∠DEC ,且∠1＝∠2,试说明DE 与AB 得位置关系、 解:∵AD 就是∠BAC 得平分线(已知)∴∠BAC ＝2∠1(角平分线定义)又∵EF 平分∠DEC (已知)∴ ( )又∵∠1＝∠2(已知)∴ ( )∴AB ∥DE ( )03.如图,已知AE 平分∠CAB ,CE 平分∠ACD.∠CAE ＋∠ACE ＝90°,求证:AB ∥CD.04.如图,已知∠ABC ＝∠ACB ,BE 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB ,∠EBF ＝∠EFB ,求证:CD ∥EF 、【例７】如图⑴,平面内有六条两两不平行得直线,试证:在所有得交角中,至少有一个角小于31°、【解法指导】如图⑵,我们可以将所有得直线移动后,使它们相交于同一点,此时得图形为图⑵、证明:假设图⑵中得12个角中得每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360°1 A B C23 456 7 ABCD OA BD E FC ABCDEA B CD EF1 2 A B CD E Fl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴ l 1l 2 l 3l 4 l 5 l 6图⑵这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】01.平面内有18条两两不平行得直线,试证:在所有得交角中至少有一个角小于11°、02.在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…,a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3,a 3⊥a 4,a 4∥a 5……那么a 1与a 2010得位置关系就是 、03.已知n (n ＞2)个点P 1,P 2,P 3…Pn 、在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设S n 表示过这几个点中得任意两个点所作得所有直线得条数,显然:S 2＝1,S 3＝3,S 4＝6,∴S 5＝10…则Sn ＝ 、演练巩固·反馈提高01.如图,∠EAC ＝∠ADB ＝90°、下列说法正确得就是( )A .α得余角只有∠B B .α得邻补角就是∠DAC C .∠ACF 就是α得余角D .α与∠ACF 互补 02.如图,已知直线AB 、CD被直线EF 所截,则∠EMB 得同位角为( )A .∠AMF B .∠BMF C .∠ENC D .∠END03.下列语句中正确得就是( )A .在同一平面内,一条直线只有一条垂线B .过直线上一点得直线只有一条C .过直线上一点且垂直于这条直线得直线有且只有一条D .垂线段就就是点到直线得距离04.如图,∠BAC ＝90°,AD ⊥BC 于D ,则下列结论中,正确得个数有( )①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 得垂线段就是线段AB ④线段AB 得长度就是点B 到AC 得距离 ⑤垂线段BA 就是点B 到AC 得距离 ⑥AD ＞BD A .0 B . 2 C .4 D .605.点A 、B 、C 就是直线l 上得三点,点P 就是直线l 外一点,且PA ＝4cm ,PB ＝5cm ,PC ＝6cm ,则点P 到直线l 得距离就是( )A .4cm B .5cm C .小于4cm D .不大于4cm06.将一副直角三角板按图所示得方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB ＋∠DOC ＝ 、07.如图,矩形ABCD 沿EF 对折,且∠DEF ＝72°,则∠AEG ＝ 、08.在同一平面内,若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10、(a 1与a 10不重合)UDZkzHi 。

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09.如图所示,直线a 、b 被直线c 所截,现给出下列四个条件:①∠1＝∠5,②∠1＝∠7,③∠2＋∠3＝180°,④∠4＝∠7,其中能判断a ∥b 得条件得序号就是 、10.在同一平面内两条直线得位置关系有 、ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A EBCFDA BC DFE M Nα第1题图第2题图AB DC第4题图11.如图,已知BE 平分∠ABD ,DE 平分∠CDB ,且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC.试说明AB ∥CD ？12.如图,已知BE 平分∠ABC ,CF 平分∠BCD ,∠1＝∠2,那么直线AB 与CD 得位置关系如何？13.如图,推理填空:⑴∵∠A ＝ (已知)∴AC ∥ED ( ) ⑵∵∠2＝ (已知) ∴AC ∥ED ( )⑶∵∠A ＋ ＝180°(已知) ∴AB ∥FD.14.如图,请您填上一个适当得条件 使AD ∥BC.培优升级·奥赛检测01.平面图上互不重合得三条直线得交点得个数就是( ) A .1,3 B .0,1,3 C .0,2,3D .0,1,2,302.平面上有10条直线,其中4条就是互相平行得,那么这10条直线最多能把平面分成( )部分、A .60 B . 55 C .50 D .4503.平面上有六个点,每两点都连成一条直线,问除了原来得6个点之外,这些直线最多还有( )个交点、A .35 B . 40 C .45 D .5504.如图,图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有__________________交点、05.如图就是某施工队一张破损得图纸,已知a 、b 就是一个角得两边,现在要在图纸上画一条与这个角得平分线平行得直线,请您帮助这个施工队画出这条平行线,并证明您得正确性、06.平面上三条直线相互间得交点得个数就是( )A .3B .1或3C .1或2或3D .不一定就是1,2,307.请您在平面上画出6条直线(没有三条共点)使得它们中得每条直线都恰好与另三条直线相交,并简单说明画法？ 08.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,要使它们出现31个交点,怎么安排才能办到？09.如图,在一个正方体得2个面上画了两条对角线AB 、AC ,那么两条对角线得夹角等于( )A .60°B . 75°C .90°D .135°10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面得两个条件？⑴任意两条直线都有交点; ⑵总共有29个交点、第13讲 平行线得性质及其应用 考点·方法·破译1.掌握平行线得性质,正确理解平行线得判定与性质定理之间得区别与联系;AC D E B A B C D EF12AB C D E F第14题图a b ABC2.初步了解命题,命题得构成,真假命题、定理;3.灵活运用平行线得判定与性质解决角得计算与证明,确定两直线得位置关系,感受转化思想在解决数学问题中得灵活应用、经典·考题·赏析【例１】如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD , BC ∥AD ,∠A ＝38°,【解法指导】两条直线平行,同位角相等;两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行,同旁内角互补、平行线得性质就是推导角关系得重要依据之一,必须正确识别图形得特征,瞧清截线,识别角得关系式关键、【解】:∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行,同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】01.如图,已知AD ∥BC ,点E 在BD 得延长线上,若∠ADE ＝155°,则∠DBC 得度数为( )A .155° B .50° C .45° D .25°02.(安徽)如图,直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°,∠2＝65°,则∠3为( )A. 50°B. 55°C. 60°D.65°03.如图,已知FC ∥AB ∥DE ,∠α:∠D :∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 得度数、【例２】如图,已知AB ∥CD ∥EF ,GC ⊥CF ,∠B ＝60°,∠EFC ＝45°,求∠BCG得度数、【解法指导】平行线得性质与对顶角、邻补角、垂直与角平分线相结合,可求各种位置得角得度数,但注意瞧清角得位置、【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行,内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°(垂直定理) ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01.如图,已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ,∠B ＝48°,则∠C 得得度数＝_______________02、如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°,BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ,DE 过点O 与BC 平行,则∠BOC ＝___________03.如图,已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ,∠A ＝40°,∠D ＝50°,求∠NMP 得度数、AB CDOE FAEBC (第1题图) (第2题图) E A F GD C BBA MCD N P (第3题图)DA2 E1 B CB FE AC D 【例３】如图,已知∠1＝∠2,∠C ＝∠D. 求证:∠A ＝∠F 、 【解法指导】因果转化,综合运用、逆向思维:要证明∠A ＝∠F ,即要证明DF ∥AC. 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°, 即:∠C ＋∠DBC ＝180°;要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC. 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3、证明:∵∠1＝∠2,∠2＝∠3(对顶角相等)所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC (同位角相等•两直线平行)∴∠DBC ＋∠C ＝180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC (同旁内角,互补两直线平行)∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等)【变式题组】01.如图,已知AC ∥FG ,∠1 02.如图,已知∠1＋∠2＝18003.如图,两平面镜α、β于β入射到α上,于α,则角θ等于【例４】如图,已知EG ⊥求证:AD 平分∠BAC.条件给我们带来得结论,得条件,∠1＝∠3)证明:∵EG ⊥BC ,AD ⊥BC (垂直定义)∴EG ∥AD (∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠∴AD 平分∠BAC (角平分线定义) 【变式题组】01.如图,若AE ⊥BC 于E ,∠1＝∠2,求证:DC ⊥BC.02.如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ,CE平分∠ACB. 求证:∠EDF ＝∠BDF 、3.已知如图,AB ∥CD ,∠B ＝40°,CN 就是∠BCE 得平分线、 CM ⊥CN ,求:∠BCM 得度数、【例５】已知,如图,AB ∥EF ,求证:∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想,分析类比,联想周角、构造两个“平角”或构造两组“互补”得角、过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来,这就是关键、 【证明】:过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ,∴CD ∥EF (平行 于同一条直线得两直线平行) ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01.如图,已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠APC 与∠PAB 、∠PCD 得关系,请您从所得四个关系中选出任意一个,说明您探究得结论得正确性、A D M CN E B F ED 21 AB Cα β P B C D A∠P ＝α＋β3 21 γ 4ψ D α βE B C AFH F γ D α β E B CAF D EBC A B CA A ′ lB ′C ′结论:⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图,已知,AB ∥CD ,则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间得关系就是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂得图形中找到基本图形,运用基本图形得规律打开思路、【解】过点E 作EH ∥AB. 过点F 作FG ∥AB. ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1(两直线平行,内错角相等)又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG (平行于同一条直线得两直线平行)∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD (平行于同一条直线得两直线平行)∴∠ψ＋∠4＝180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01.如图, AB ∥EF ,∠C ＝90°,则∠α、∠β、∠γ得关系就是( )A . ∠β＝∠α＋∠γB .∠β＋∠α＋∠γ＝180°C . ∠α＋∠β－∠γ＝90°D .∠β＋∠γ－∠α＝90°02.如图,已知,AB ∥CD ,∠ABE 与∠CDE 得平分线相交于点F ,∠E ＝140°,求∠BFD 得度数、 【例７】如图,平移三角形ABC ,设点A 移动到点A /,画出平移后得三角形A /B /C /、 【解法指导】抓住平移作图得“四部曲”——定,找,移,连、 ⑴定:确定平移得方向与距离、 ⑵找:找出图形得关键点、 ⑶移:过关键点作平行且相等得线段,得到关键点得对应点、 ⑷连: 按原图形顺次连接对应点、 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /得平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就就是得B 对应点,用同样得方法作出点C 得对应点C /、连接A /B /,B /C /,C /A /就得到平移后得三角形A /B /C /、【变式题组】01.如图,把四边形ABCD 按箭头所指得方向平移21cm ,作出平移后得图形、02.如图,已知三角形ABC 中,∠C ＝90°, BC ＝4,AC ＝4,现将△ABC 沿CB A /B /C /得位置,若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /03.原来就是重叠得两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 得距离,就得到此图形,求阴影部分得面积、(单位:厘米)BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷B B /AA /C C /西 B 30°A北东 南演练巩固 反馈提高01.如图,由A 测B 得方向就是( ) A .南偏东30° B .南偏东60°C .北偏西30°D .北偏西60°02.命题:①对顶角相等;②相等得角就是对顶角;③垂直于同一条直线得两直线平行;④平行于同一条直线得两直线垂直、其中得真命题得有( )A .1个 B .2个 C .3个 D .4个03.一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶得方向与原来得方向相同,两次拐弯得角度可能就是( )A .第一次向左拐30°,第二次向右拐30° B .第一次向右拐50°,第二次向左拐130° C .第一次向左拐50°,第二次向右拐130° D .第一次向左拐60°,第二次向左拐120° 04.下列命题中,正确得就是( )A .对顶角相等B . 同位角相等C .内错角相等D .同旁内角互补05.学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线得平行线得新方法,就是通过折一张半透明得纸得到得[如图⑴—⑷]从图中可知,小敏画平行线得依据有( )①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行、A .①② B .②③ C .③④ D .①④06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直得公路,从A 地测得B 地得走向就是南偏东52°、现A 、B 两地要同时开工,若干天后,公路准确对接,则B 地所修公路得走向应该就是( )A .北偏东52° B .南偏东52° C .西偏北52° D .北偏西38° 07.下列几种运动中属于平移得有( )①水平运输带上得砖得运动;②笔直得高诉公路上行驶得汽车得运动(忽略车轮得转动);③升降机上下做机械运动;④足球场上足球得运动、A .1种 B .2种 C .3种 D .4种08.如图,网格中得房子图案正好处于网格右下角得位置、平移这个图案,使它正好位于左上角得位置(不能出格)150° 120° D B C E 湖4 3 2 1 AB E FCD 4 P 23 1A B E FCD09.观察图,哪个图就是由图⑴平移而得到得( )10.如图,AD ∥BC ,AB ∥CD ,AE ⊥BC ,现将△ABE 进行平移、 平移方向为射线AD 得方向、 平移距离为线段BC 得长,则平移得到得三角形就是图中( )图得阴影部分、 11.判断下列命题就是真命题还就是假命题,如果就是假命题,举出一个反例、⑴对顶角就是相等得角;⑵相等得角就是对顶角;⑶两个锐角得与就是钝角;⑷同旁内角互补,两直线平行、12.把下列命题改写成“如果……那么……”得形式,并指出命题得真假、⑴互补得角就是邻补角; ⑵两个锐角得与就是锐角; ⑶直角都相等、13.如图,在湖边修一条公路、如果第一个拐弯处∠A ＝120°,第二个拐弯处∠B ＝150°,第三个拐弯处∠C ,这时道路CE 恰好与道路AD 平行,问∠C 就是多少度？并说明理由、 VsV5EKu 。