电磁感应中的力学问题————导棒问题分类评析电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。
要将电磁学和力学的知识综合起来应用。
一、基础知识 1、．楞次定律、右手定则、左手定则的区别 (1) “因动而电”——用右手定则，“因电而动”——用左手定则。
(2)在应用楞次定律时，注意“阻碍’’含义可推广为三种表达方式：①阻碍原磁通量的变化；②阻碍导体的相对运动(来拒去留)；③阻碍原电流的变化(自感现象)。
2、两种感应电动势：感生和动生电动势3、安培力公式、楞次定律和法拉第电磁感应定律是解决此类问题的重要根据，在应用法拉第电磁感应定律时应注意：①区分ϕ、ϕ∆、tϕ∆∆的含义； ②理解E=BLv 和(B S S BE nE n E n t t tϕ∆∆∆===∆∆∆或）的应用。
一般(B S S B E nE n E n t t tϕ∆∆∆===∆∆∆或）用来求平均电动势和感生电动势，E=BLv 用来求瞬时电动势和动生电动势；③在匀强磁场中，B 、L 、v 相互垂直，导体平动切割磁感线时E=BLv ，绕固定转轴匀速转动时2BL E=2ω。
4、导棒类问题动态电路分析的一般思路：磁通量变化→感应电动势→感应电流→安培力→合外力→加速度→速度→感应电动势→……周而复始地循环，当a=0时，导体达到稳定状态，速度达到最大值．上述分析的过程与思路也可以简明表示如下：−−−−→↑↓←−−−−−电磁感应导体在磁场中导体运动感应电动势阻碍 电路闭合安培力感应电流5、处理导体切割磁感线运动有三种观点：(1)力的观点；(2)能量观点；(3)动量观点．这类问题的实质是不同形式能量的转化过程，从功与能的观点人手，弄清导体切割磁感线运动过程中的能量转化关系，往往是解决这类问题的关键，也是处理此类问题的捷径之一。
二、导棒在匀强磁场中常见的运动问题 1、单导棒模型常见的几种情况： (1)如下图所示．单杆ab 以一定的初速度v 0在光滑水平轨道上作加速度越来越小的减速运动，在安培力作用下最终静止，则回路中产生的焦耳热Q=mv 2/2。
（2）如下图所示，单杆ab 在恒定的外力作用下在光滑水平轨道上由静止开始运动，因22B L v F R =安，故其加速度F F a m-=安不断减小，最终当F 拉=F 时，a=0以速度m 22FRv B L=匀速运动。
（3）（不要求）如图所示，单杆ab 在恒力F 作用下，由静止开始在光滑水平轨道上运动，设电容器的电容为C ，t 时刻ab 杆速度为v ，t+△t 时刻速度为v+△v ，根据以下关系I=△Q/△t △Q=C △U △U=BL △v △v=a △t F-BIL=ma22Fa B L C+m=做匀加速运动可得金属杆最终以加速度2、双导棒模型常见情况有：（1）如图所示在光滑水平轨道上， 一金属杆ab 以初速度v 0向右运动，则ab 因受安培力做减速运动，而cd 因受安培力做加速运动，当两者速度相等时，回路中无感应电流，ab 、cd 最终以相等的速度做匀速运动，由动量守恒得，ab 0ab cdab cdm v v v m +m ==（2）如图所示，在光滑水平轨道上，ab 杆所在部分轨道宽为L 1、cd 杆所在部分导轨宽为L 2，并设两部分轨道均足够长。
金属杆ab 以初速v 0向右运动。
同样由于受安培力作用使ab 做减速运动，cd 向右加速运动，最终，当满足V ab L 1= V cd L 2的关系时，回路中感应电流为零，ab 、cd 各以不等的速度作匀速运动，但上述变化过程中，因ab 、cd 两杆受安培力大小不等，整体受合力不为零，两杆整体的动量不守恒，但可以应用动量定理得到两杆的最终速度。
设从开始到稳定时间为△t ，回路中平均电流为I ，由动量定理：1ab 0ab BIL t m (V V )∆=-2cd cd BIL t m V ∆=1ab 2cd L V L V =ab 12cd 022ab 2cd 1m L L V V m L +m L =解得2ab 2ab 022ab 2cd 1m L V V m L +m L = (3)如图所示，ab 杆在恒力作用下由静止开始在光滑水平轨道上运动，最终ab 杆和cd 杆以共同的加速度运动，ab cdFa m m =+而ab 杆和cd 杆的瞬时速度不等．●双导棒模型情况总结：【典型例题解析】1、如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN 、PQ 相距为L ，导轨平面与水平面夹角α＝30，导轨电阻不计。
磁感应强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L 的金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒的质量为m 、电阻为R 。
两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R 2为一电阻箱，已知灯泡的电阻R L ＝4R ，定值电阻R 1＝2R ，调节电阻箱使R 2＝12R ，重力加速度为g ，现将金属棒由静止释放，求：（1）金属棒下滑的最大速度v m ；（2）当金属棒下滑距离为s 0时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑2s 0的过程中，整个电路产生的电热；（3）改变电阻箱R 2的值，当R 2为何值时，金属棒匀速下滑时R 2消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少v=0，2杆受到恒定水平外力作用 光滑平行导轨规 律开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动 杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，以相同速度做匀速运动 分 析 m 1=m 2 r 1=r 2 l 1=l 2m 1=m 2 r 1=r 2 l 1=l 2 示 意 图 v 1≠0 v 2=0 ， 不受其它水平外力作用。
光滑平行导轨 条件 21 vtvt2 1B 21v B21F Q B a N bRR R9、（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有mg sin ＝F 安（1分）F 安＝BIL （1分） I ＝BLv m R 总 （1分） 其中 R 总＝6R （1分）所以mg sin ＝B 2L 2v m R 总 解得最大速度v m ＝3mgRB 2L2 （1分）（2）由动能定理W G －Q ＝12 mv m 2（1分） 得放出的电热Q ＝2mgs 0sin α－12 mv m 2（1分）代入上面的v m 值，可得 Q ＝mgs 0－9m 3g 2R22B 4L4 （2分）（3）R 2上消耗的功率 P 2＝U 2R 2其中 U ＝IR 并＝BLvR 并3R ＋R 并 （1分） R 并＝4RR 24R ＋R 2 又 mg sin ＝B 2L 2v3R ＋R 并（1分）解得P 2＝m 2g 2sin 2B 2L 2 16R 2R 2(4R ＋R 2)2 ＝m 2g 2sin 2B 2L 2 16R216R2R 2＋8R ＋R 2 （1分） 当R 2＝R L ＝4R 时，R 2消耗的功率最大（1分）最大功率P 2m ＝m 2g 2R4B 2L2 （1分）2、如图甲所示（俯视图），相距为2L 的光滑平行金属导轨水平放置，导轨一部分处在以OO /为右边界匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直导轨平面向下，导轨右侧接有定值电阻R ，导轨电阻忽略不计。
在距边界OO /也为L 处垂直导轨放置一质量为m 、电阻不计的金属杆ab 。
求解以下问题：（1）若ab 杆固定在轨道上的初始位置，磁场的磁感应强度在时间t 内由B 均匀减小到零，求此过程中电阻R 上产生的焦耳热为Q 1。
（2）若磁场的磁感应强度不变，ab 杆在恒力作用下由静止开始向右运动3L 距离，其v --x 的关系图像如图乙所示。
求①ab 杆在刚要离开磁场时的加速度大小；②此过程中电阻R 上产生的焦耳热Q 2 。
解析: 23. （18分）（1）磁场的磁感应强度在时间t 内由B 均匀减小到零，说明t Bt B =∆∆ 此过程中的感应电动势为t BL t E 212=∆∆=Φ ① 通过R 的电流为R E I 11=②此过程中电阻R 上产生的焦耳热为Rt I Q 211= ③， 联立①②③求得Rt L B Q 4214= （2）①ab 杆离起始位置的位移从L 到3L 的过程中．由动能定理可得()()2221132F L L m v v -=- ④ab 杆刚要离开磁场时，感应电动势122BLv E = ⑤通过R 的电流为R E I 22=⑥水平方向上受安培力F 安和恒力F 作用安培力为：L BI F 22=安 ⑦ 联立⑤⑥⑦解得R v L B F 1224=安 ⑧由牛顿第二定律可得：F F ma-=安 ⑨联立④⑧⑨解得mR v L B L v v a 122212244--= ②ab 杆在磁场中由起始位置发生位移L 的过程中，根据功能关系，恒力F 做的功等于ab 杆增加的动能与回路产生的焦耳热之和，则22121Q mv FL +=⑩联立④⑩解得 4)3(21222v v m Q -=3、如图所示，足够长的金属导轨MN 和PQ 与R 相连，平行地放在水平桌面上，质量为m 的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动．导轨与ab 杆的电阻不计，导轨宽度为L ，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面．现给金属杆ab 一个瞬时冲量I 0，使ab 杆向右滑行．（1）求回路的最大电流．（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q 时，杆ab 的加速度多大 （3）杆ab 从开始运动到停下共滑行了多少距离解：（1）由动量定理I 0 = mv 0 – 0 得v 0 = I 0m（2分） 金属杆在导轨上做减速运动，刚开始时速度最大，感应电动势也最大，有：E m = BLv （1分）所以回路的最大电流I m =BLv 0R= BLI 0mR．（1分） (2) 设此时杆的速度为v ，由能的转化和守恒有： Q = 12 mv 2 - 12 mv 20 （2分）解得：v = 1m2m Q +I 02（1分）由牛顿第二定律得：BIL = ma （1分） 由闭合电路欧姆定律得：I =BLvR（1分） 解得：a = B 2L 2m 2R2m Q +I 02．（1分）（3）对全过程应用动量定理有： —BIL ·Δt = 0 – I 0 （2分） 而I = ΔφΔt ·R = BLxΔt ·R （2分）解得：x =I 0RB 2L 2．（2分）4、如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN 、M´N´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=，轨道的MM ´端之间接一阻值R=Ω的定值电阻，NN ´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP 、N ´P ´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R 0=．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B= T 的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=，且其右边界与NN ´重合．现有一质量m =、电阻r =Ω的导体杆ab 静止在距磁场的左边界s=处．在与杆垂直的水平恒力F=的作用下ab 杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F ，结果导体杆ab 恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP ´．已知导体杆ab 在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab 与直轨道之间的动摩擦因数μ=，轨道的电阻可忽略不计，取g =10m/s 2，求：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R 上的电荷量； （3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热解：（1）设导体杆在F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v 1，根据动能定理则有 （F-μmg ）s=21mv 12（2分） 导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势E=Blv 1此时通过导体杆上的电流大小I=E/（R+r ）=（或） （1分）根据右手定则可知，电流方向为由b 向a （1分） （2）设导体杆在磁场中运动的时间为t ，产生的感应电动势的平均值为E 平均，则由法拉第电磁感应定律有 E 平均=△φ/t =Bld/t （1分）通过电阻R 的感应电流的平均值 I 平均=E 平均/（R+r ） （1分） 通过电阻R 的电荷量 q=It=（或） （1分）（3）设导体杆离开磁场时的速度大小为v 2，运动到圆轨道最高点的速度为v 3，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有mg=mv 32/R 0 （1分）对于导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有21mv 22=21mv 32+mg 2R 0 （2分） 解得v 2=s (1分) 导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能△E=21mv 12－21mv 22= （1分） 5、如图所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间距是L ，上层导轨上搁置一根质量是m 、电阻是r 的金属杆ST ，下层导轨末端紧接着两根竖立在竖直平面内的半径为R 的光滑绝缘半圆形轨道，在下层导轨末端处搁置一质量也是m 、电阻也是r 的金属杆AB 。