T t ) * Normcdf (n2 , 0,1) 365
f X * exp( r
T t ) Normcdf (n2 ) S * Normcdf (n1 ) 365
n1
ln
S Sd T t (R )* X 2 365 T t Sd 365
2
S Sd 2 T - t ln ( R )* 2 365 n2 X T t Sd 365
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
是否成立, 若是，则令最后的 ，并且继续上述操作。此后如此循环
。若否，则令
直到要求 满足为止。 5. 如果循环次数超过 1000 次，条件仍然不满足，则退出计算，返回最后 一次计算值，并提示异常。
4.2
二分法
二分法需要确定波动率的上下限， 即只能估计在这个上下限范围内的波 动率值。具体步骤如下： 1. 选定某个期权，获得它的价格（C） 、无风险利率 r、期权标的当前 价格 S、当前时间 t、执行价格 K、期权的到期日 T。
二：理论价格计算公式： 2.1.二叉树期权定价模型：
2.11 美式期权且无分红： 无红利情况美式期权, 适用于期货期权、指数期权和一些无分红 的股票期权. 如目前我国郑商所正在模拟的的白糖期权。看涨期权的 逆向递推公式为:
已知边界条件和约束条件有:
求看涨期权的价格即为求
的值。 在本文所有的计算中， 令 n=30，
符号意义参考算法文档。特别说明几点，S 表示当前标的 的价格，跟二叉树中的符号不一样，t 表示当前时间， T 表示 到期日时间。N 表示标准正态累计分布函数，计算公式为：
3.3 蒙特卡罗方法中的敏感性参数计算
计算敏感性参数，蒙特卡罗的方法跟二叉树方法基本雷同。只 需要把二叉树方法中计算不同 V 值的方法换成蒙特卡罗的方法即可。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
n
1 m （u n i - u ) 2 m 1 i 1
1.2
基于指数加权移动平均法（EWMA）估计波动率
2 1 n (1 ) i （ u n i - u ) 2 i 1 N
2 n n
=0.94（摩根大通采用的数据） ，当选择本算法的时候可以输入进行修改。
期权定价分析公式说明
一: 波动率计算： 1.1 利用历史数据简单估计波动率
定义 n 为第 n-1 天所估计的市场变量在第 n 天的波动率。假定市场变量 在 i 天的收盘价为 S i 。
u i ln S i ln S i 1
u 1 m u n i m i 1
利用 ui 在最近 m 天的观察数据计算出的 n 的无偏估计为
本计算中默认为迭代法，当迭代法无法满足需求的时候使用二分法进行计算。
。
看涨和看跌期权价格为：
其中：
当前标的证券价格 。 无风险利率 。 标的证券历史波动率 。 当前时间与到期日差值 。
期权的行权价格 K。
输入上述五大参数，S0,K,r,T,sigma
指定蒙特卡洛中样本取样个数N，一般10^6个样本即可。
产生标准正态分布，从中中取N个样本。
对每个样本计算上述公式中C1和P1的值
3.1.1 Delta 的计算： 从定义 出发，可以简单的获得 Delta 的二叉树计
算方法如下： 不管是美式期权还是欧式期权， 也不管 V 是看 涨期权的价格还是看跌期权的价格， 算法都一样。 一般这里 的估算结果为有偏估计。 只要我知道二叉树方法中计算 V 的方法， 我们可以计算 多次不同的 值及其对应的 V 值，一般我们可以取 ,以及相应的 到: 值。 最终我们可以得
3.1.2 Theta 的计算： Theta 的定义为： . 此处的 t 表示当前时间距离到
期日剩余时间的长度。 按照上述 Delta 计算的思路， 同样的， 我们可以选取不同时间长度 t 下，计算相应的 V 值，一般选 取 0.9t, t, 1.1*t, 计算相应的期权价格为 们可以得到： 值，最后我
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
其余条件跟看涨期权一样。
2.12 欧式期权无分红 看涨期权的逆向递推公式为:
已知边界条件和约束条件有:
与美式期权定价相比， 只是在递推公式中少了一项而已。 相应的， 看跌期权定价与上述完全相同，除了边界条件改为：
2.2.BS 算法欧式：
Black-Scholes 公式
无股息股票看涨期权定价公式：
F S * Normcdf (n1 , 0,1) X *exp(r
无股息股票看跌期权定价公式：
当有效性不能满足的时候，会增加步数计算。 以上公式中各个字符代表意义如下: 1， 下标 表示二叉树的第 i 步的分叉。下标 j 表示第 i 步分叉时 股票上涨的次数。
2， 3， 4，
表示第
时期第 j 个节点上的看涨期权价格。
K 表示期权的执行价格。 表示当前时刻的期权标的的价格。 如股票的现价或者期货 的现价。
4. 隐含波动率计算 4.1 Newton-Raphson 迭代法
下面我们用“Newton-Raphson”迭代法来确定期权的隐含波动率（以看涨期 权价格 C 为例） ，步骤如下： 1. 选定某个期权，获得它的价格（C） 、无风险利率 r、期权标的当前价格 S、当前时间 t、执行价格 K、期权的到期日 T。 2. 我们假定 , 判断 <0.01 是否成立， 若不成立则跳到步骤 3； 若成立， 则随机再取一个初始值， 重新判断上述条件， 知道不成立为止。 3. 把上述 的值代入期权定价公式，计算 ，判断 是否成 立，若是，则令最后的 。 若否，则继续进行下一步计算。 4. 令 中的 用 , 代入期权公式重新计算 。其中 代替。判断 ; 且
其中： F 为无股息股票看涨期权价值;
f 为无股息股票看跌期权价值;
S 为正股现价;
X 为期权的执行价格;T 为期权到期日;
Sd 为正股价格的波动率;
Normcdf 为标准正态分布函数;
2.3.蒙特卡洛计算方法：
预期的到期日标的证券的价格 ：
其中，
, 为均值为 0，方差为 1 的正态分布
取上述N个样本的负数作为新的样本，同样计算C2和P2。
计算所有的call样本值和put样本值。其中call=（c1+c2）/2; put=(p1+p2)/2.
用上述所有的call样本值的集合拟合正态分布。
得到其均值即为看涨期权和看跌期权的价格。对put同样操 作。
3.期权敏感性参数计算方法
3.1 二叉树方法中的敏感性参数计算
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。