21
③当 b∈(2，＋∞)时，因为 g(x)min＝g(2)
＝8－4b. 解不等式 8－4b≤－12，可得 b≥187. 综上，b 的取值范22
练习： 已知函数 f ( x) 2k2 x k, x [0,1]， 函数 g( x) 3x2 2(k2 k 1)x 5, x [1,0]，
1, 2
（3）含有“任意”、“存在”、“成立” 等字眼。
（4）函数值不等或相等关系 。
如 f(x1)≥g(x2)、 g(x2)f(x1)
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二、解题策略
对于这类问题，关键是题中条件“任意”、“存 在”、“成立”问题的等价转化：
（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较 。
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1
坚持的每一天都是奇迹的开始！！！
函数中的任意性 和存在性问题
井冈山中学 贺平桂 2014.4.10
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2
考题展望
最近几年，高考和模拟试题中经常出现一
类函数存在性和任意性问题，它们在压轴题、
把关题位置出现，是考试的热点之一。 下面
结合实例来辨析和整理这几种问题的处理方
法。
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3
一、题目展示
24
回顾解题策略
对于这类问题，关键是题中条件“任意”、“存 在”成立问题的等价转化：
（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较 。
（2）把相等关系转化为函数值域之间的关系 。
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小结
1.对函数中的存在性与任意性问题，可把相等 关系问题转化为函数值域之间的关系问题，不 等关系转化为函数的最值问题。
2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化 与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.
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作业：P170 压轴大题突破练（四）
4． 已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x))， m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝x ex f′(x) ．
某一个 g(x 2)”等价于“f(x)在(0，2)上的 最小值≥g(x)在[1，2]上的最小值”
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于是解题思路就清楚了
第一步 分别求出f(x)和g(x)的最小值。 第二步 得不等式f(x)min≥ g(x)min 第三步 解不等式得b范围。
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高考题再现（2010 山东理 21）:
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4
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5
解题四阶段
一、对问题的题解，即“审题”阶段； 二、产生一个解决问题的假设，即明确思路
阶段。 三、将假设付诸实施，即动手解题阶段； 四、对解题思路、方法和结果进行检验，即
反思阶段。 其中思维最紧张、最活跃的是第二阶段。
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试题特点
（1）两个不同函数 f(x)、g(x)
x x （2）两个不同变量
已知函数 f(x)＝lnx－41x＋43x－1，g(x)＝x2－2bx ＋4，若对任意 x1∈(0，2)，存在 x2∈[1，2]，使
f(x1)≥g(x2) ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围
是 [187，＋∞)
．
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【解析】f′(x)＝－（x－14）x2（x－3），令 f′(x)＝0 得 x1＝1，
（2）把相等关系转化为函数值域之间的关系 。
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三、变式研究、归纳小结
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高考题再现（2010 山东理 21）:
已知函数 f(x)＝lnx－14x＋43x－1，g(x)＝x2－2bx ＋4，若对任意 x1∈(0，2)，存在 x2∈[1，2]，使
f(x1)≥g(x2) ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围
(1)求k的值及F(x)的单调区间； (2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任
意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得 g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．
x2＝3∉(0，2)． 当 x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，
所以 f(x)在(0，2)上的最小值为 f(1)＝－12.
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由于“对任意 x1∈(0，2)，存在 x2∈[1，2]， 使 f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小
一轮复习目标：全面、系统、基础 二轮复习目标：综合、灵活、能力
1、以横向为主建构知识网络，使知识系统化 条理化。对重点、难点、弱点、热点内容 做专题突破。在巩固已学知识的基础上特 别注意对知识综合能力的运用和提升。
2、查缺补漏。对高考各题型强化训练。总结
解题方法技巧。规范解题，提高解题准度 与速度。要有每分必争的精神。
1
2
g( x2 ) f ( x1) 成立，求 k 的取值范围.
变式 2：存在 x [0,1]， x [1,0]，使得
1
2
g(x ) f (x )成立， 求 k 的取值范围.
2
1
变式
3：对任意
x 1
[0,1]，存在
x 2
[1,0]
，
使得 g(x ) f (x )成立，求 k 的取值范围.
2
1
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是
．
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拿到压轴题后：
（1）、不要去想这道题难不难，我能不能 做完整，只要想我会做多少。也可以不理会 题目有没有读懂，只要做我能读懂的部分。 （2）、重视审题。
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解题分析
“对任意 x1∈(0，2)，存在 x2∈[1，2]，
使 f(x1)≥g(x2)” 等价于 “任意 f(x1)≥
值不大于 f(x)在(0，2)上的最小值－12” (*)． 又 g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1，2]，所以 ①当 b<1 时，因为 g(x)min＝g(1)＝5－2b>0， 此时与(*)矛盾； ②当 b∈[1，2]时，因为 g(x)min＝g(b)＝4－b2≥0， 此时与(*)矛盾；
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问：对任意
x 1
[0,1]，存在
x2
[1,0]
，
使得 g( x2 ) f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.
f ( x)的值域是 g(x)的值域的子集即可.
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问：对任意
x 1
[0,1]，存在
x2
[1,0]
，
使得 g( x2 ) f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.
变式 1：存在 x [0,1] x [1,0]，使得