起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不 变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等 变形，但不许割断和粘合)。
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
多笔画定理：设G是一个有2n个奇顶点的连通网络， n>1. 那么G中的全部弧可以排成n条路，而且至少n 条路。
最短邮递路线问题
一个邮递员送信，每次都要走遍他所负责的投递范 围的每一条街道，完成任务后回到邮局。问：他沿 怎样路线走，所走路程最短？
最理想的路线是，从邮局出发，走遍所有的街道， 但每条街只走一次，最后回到邮局。
不可思议的拓扑变换
哈里发招女婿
相传古波斯穆罕默德的继承人哈里发有位才貌双全的女儿。 姑娘的智慧和美貌使得许多聪明英俊的小伙子为之倾倒。
哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年为女婿。于是想出 一道题目，声明说谁能解出这道题，便将女儿嫁给他。
题目是这样的：用线将下图写有相同数字的小圆圈连接起来， 但所有的线不相交。
这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。 在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶 颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。 我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面
或者2块以上。就不是单连通的。这是著名的四色猜想。 平面上不可能有两两相连的5个区域。
区域一笔画----七色定理
在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两 相连的区域。可以“一笔划”。把下图（上下对折以后，再 左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连 两两相连的 区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。
似？ 光盘和圆柱面是否一样？
拓扑的一些重要思想
“内部”与“外部”，是拓扑学中很重要的一组概 念。
A
A
A
不可思议的拓扑变换
法国著名数学家庞加莱(Poincaré)以他丰富 的想象力及抽象的思维能力，提出下图的两 个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以 从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个， 您认为可能吗？
但现实中，这种路线往往不存在，需要考虑多笔画 问题。而且在一笔画问题中，还需考虑路线长短问 题。
有兴趣的同学可以参看姜伯驹院士写的《一笔画与 邮递路线问题》。
区域一笔画----四色定理
两两相连区域可一笔画。 在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，
可以一笔画。 每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。 新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑 里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”， 他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下 来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然 扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆 圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。
网络的“连通性”
如果一个网络的任意两个顶点都可以用一条 路连接起来，则称该网络是连通的；否则称 为不连通的。
如果以某个顶点为端点的弧的个数是奇数， 该顶点就称为奇顶点；否则称为偶顶点。没 有奇顶点的网络称为偶网络。
命题：网络的奇顶点个数必定是偶数。
一笔画的充要条件
一笔画定理：一个网络是一笔画的充分必要条件是： 它是连通的并且奇顶点的个数是0或者2. 当奇顶点 的个数为0时，则该一笔画为一条闭路。
论文的开头是这样写的：“讨论长短大小的几何分支，一直被人们 热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支，莱 布尼兹最先提到它，称之“位置几何学”。这个几何分支只讨论与 位置有关的关系，研究位置的性质。它不考虑长短大小，也不涉及 量的计算。但至今未有过令人满意的定义，来刻画这门位置几何学 的课题和方法。”
七桥问题的历史贡献
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实 际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。 这种研究方法就是“数学模型方法”。
这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的 关键。
1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报 告中，阐述了他中，阐述了他的解题方法。
莫比乌斯带的发现
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°， 再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面 的纸圈儿。
圆圈做成后，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。 结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。 莫比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了 这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。
1
3
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平面欧拉公式
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织 一片网，无论你织一片多大的网，它的结点 数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面 的公式：
V + F– E = 1
多面体欧拉公式
利用拓扑思想，容易证明。
挖个洞，撕成平面
V + F– E =2
一个故事
数学上流传着这样一个故事： 有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个
三、拓扑学（Topology）
拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。 中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology原 意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是 出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性 质和不变量。 拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们 感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发 现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.
莫比乌斯带
如下图所示，称为莫比乌斯带。
莫比乌斯带
如下图所示，称为莫比乌斯带。
莫比乌斯带与艺术、科技
麦比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家艾雪就是一个利用这个 结构在他木刻画作品里面的人，最著名的就是麦比乌斯二代，图画中表现 一些蚂蚁在麦比乌斯带上面爬行。
克莱茵瓶
温莎斜屋
如何脱困
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交 了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题。
同时开创了数学新分支---图论以及拓扑学。
欧拉解题方法
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成 一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一 样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥 尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否 能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
欧拉的研究开创了数学上的新分支――拓扑学。
二、一笔画问题
所谓一笔画即是：不管什么样的平面图形可以“笔 不离纸”一笔画成。
或者说：是指每条线都必须画出，且每条直线只能 画一次，不能重复。
网络
我们先定义一些概念。
一个图形由有限条“线段”（未必是直线）构成，每条线段 都有两个不同的端点，且互不相交。我们把这种图称为“网 络”，“线段”称为网络中的“弧”，弧的端点称为顶点。
在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞 车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。
麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被 用于各类标志设计。微处理厂商Power Architecture的商标就是一条麦 比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。
但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形 成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
求救欧拉
1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼 得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解 决这一问题。
欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法， 但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本 就无解呢？
哥尼斯堡七桥问题
拓扑学
一、七桥问题Seven Bridges Problem