《概率论与数理统计》练习题2答案考试时间：120分钟题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。

A 、B A -B 、ABC 、B A -D 、AB答案：D2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13成立的事件A 是( )。

A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩( )。

A 、是某一离散型随机变量的分布函数。

B 、是某一连续型随机变量的分布函数。

C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。

D 、不可能为某一随机变量的分布函数。

答案：D4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。

01q pPξη()(1)q p =-A 、ξη=B 、2ξηξ+=C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+答案：D5、设随机变量12,,,n ξξξ⋅⋅⋅相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2,,)i n =，又12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。

A 、11n ni i i i i i E k c k E c ξξ==⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∏∏C 、11n n i i i i i iD k c k D ξξ==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑ D 、()111n n ii i i i D D ξξ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑答案：C6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。

A 、()150050x x x ex ϕ-≤⎧=⎨>⎩ B 、()262x x ϕ-=C 、()312xx e ϕ-=D 、()()4211x x ϕπ=+ 答案：D7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么(){}041P m ξ<<+≥( )。

A 、11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m答案：B 8、设1,, n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本，221111, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。

A 、X 与2n S 独立 B 、~(0, 1)X N μσ-C 、2221~(1)n n S X n σ-- D~(1)nt n -答案：B9、容量为n =1的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正确的是( )。

A 、1X 是p 的无偏统计量B 、1X 是p 的有偏统计量C 、21X 是2p 的无偏统计量 D 、21X 是p 的有偏统计量 答案：A10、已知若~(0,1)Y N ,则{ 1.96}0.05P Y ≥=。

现假设总体1225~(,9),,,,X N X X X μ为样本,X 为样本均值。

对检验问题:0010:,:H H μμμμ=≠。

取检验的拒绝域为1225{(,,,)C x x x =0x μ-},取显著性水平0.05α=,则a =( )。

A 、 1.96a =B 、0.653a =C 、0.392a =D 、 1.176a = 答案：D二、填空（5小题，共10分）1、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。

答案：722、已知()0.5 ()0.4 ()0.7P A P B P A B ===。

则()P A B -=__________。

答案：3、()0 20.4201 0x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是随机变量的分布函数。

则是_________型的随机变量答案：离散型4、设南方人的身高为随机变量ξ，北方人的身高为随机变量η，通常说“北方人比南方人高”，这句话的含义是__________。

答案：E E ηξ>5、设样本12,,,n X X X 来自总体2~(,)X N μσ，μ已知，要对2σ作假设检验，统计假设为22220010:,:H H σσσσ=≠，则要用检验统计量为_______,给定显著水平α，则检验的拒绝域为_________________。

答案：2221()ni i X μχσ=-=∑,22221(0,()][(),)n n ααχχ-+∞三、计算（5小题，共40分）1、袋中放有四只白球，二只红球，现从中任取三球，(1)求所取的三个球全是白球的概率；(2)在所取的三个球中有红球的条件下，求三个球中恰有一个红球的概率。

答案：(1,2,3)i A i =“所取的三个球中有i 只白球”(1)()3433615C P A C ==(2)()()()()()2322333P A A P A P A A P A P A ==()()()21422333634,155C C P A P A P A C ===-=得()2334PA A =2、设随机变量ξ的概率密度为21()(1)x x ϕπ=+，求随机变量31ηξ=-的概率密度。

答案：函数31-y x =的反函数13()(1)x h y y ==-()()232311()(1),311h y y h y y ϕπ-'=--=⎡⎤⎣⎦⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦于是η的概率密度为()()22331(),13111y y y y ψπ=≠⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦3、袋中有N 个球，其中a 个红球，b 个白球，c 个黑球()a b c N ++=每次从袋中任取一个球，取后不放回，共取n 次，设随机变量ξ及η分别表示取出的n 个球中红球及白球的个数，并设n N ≤，求(ξ，η)的联合分布律。

答案：{,}i j n i ja b c nNC C C P i j C ξη--⋅⋅=== 0,1,2,,0,1,2,,,i a j b i j n ==+≤4、设随机变量ξ与η相互独立，均服从(0,1)N 分布，令1,2u v b ξξη==+，求常数b ，使()1D v =，且在这种情况下，计算u 和v 的相关系数。

答案：由题意知0,1,0E E D D Eu Ev ξηξη====== 因为22111()()()()244D v D b D b D b ξηξη=+=+=+ 令2114b +=，得b=32± 又21313()[()]()()()2222E uv E E E E ξξηξξη=±=±211[()()]022D E ξξ=++= 1cov(,)()()()2u v E uv Eu Ev =-=1(,)2()()u v D u D v ρ==5、设总体~(,0.09)X N μ现获得6个观察值:,,,,,求总体均值μ的98%的置信区间.(注：0.990.9750.9950.952.33, 1.96, 2.57, 1.64)u u u u ====. 答案：10.98,0.01,10.99,622n ααα-==-==0.99 2.33u =60.9910.312.330.285,14.952.456i i u X x n=⨯=⨯===∑ 的98%的置信区间为：- -四、应用（2小题，共20分）1、设随机变量的分布函数为()0 00441 4x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求方程24420y y ξξ+++=无实根的概率。

答案：方程无实根即要2(4)-44(+2)<0ξξ⨯⨯即是事件(12)ξ-<<1{12}(20)(1)2P F F ξ-<<=+--=2、某系统有12100,,,D D D ⋅⋅⋅，100个电子元件，系统使用元件的方式是：先使用k D 而j D (j k >)备用，若m D 损坏则1m D +立即使用，(m =1，2，…，99)，设k D 的寿命kξ服从参数为λ=小时的指数分布，且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立，求100个元件用的总时间η超过1000小时的概率。

答案：由题设知k ξ的密度为()0.10.1000t e t x t ϕ-⎧>=⎨≤⎩于是()0.100.1101,2,,100t k E te dt k ξ+∞-===⎰()()()2220.100.11002001t k k k D E E t e dt ξξξ+∞-=-=-=-⎰知100121001,,,,kk ηξξξξ==∑独立。

由独立同分布中心极限定理知{1000}P η>10001(10010)1001010010kP ξ=-⨯>⎨⎬⨯⨯⎩⎭∑()10000,1111(1000)010100kP F ξ⎧⎫=--≤≈-⎨⎬⎩⎭∑=1=。