2 bx0
0.1 (10000) 10 10
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn1 ) (n 1, 2 ,) xn xn1 f ( xn1 ) 称为牛顿迭代公式
a

解 决 方 法
求微分方程的数值解 对微分方程进行定性分析
微分方程定性分析 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在 整个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形 状, 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
研究对象：驻定系统
若微分方程组
dxi f i ( x1 , x2 ,, xn ), i 1,2,, n dt
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统). 例 单一质点非受迫直线运动满足方程
d2x
dx a1 ( x ) a2 ( x ) 0 2 dt dt
y
Y方胜
( x 0, y 0)
X方胜
0 证明 令 y =0, 由轨线方程得
2 ay0
x
b( x
2
2 x0 )
x
22 bx0Fra bibliotek2 ay0
不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形, 即X方获胜的情形.
b
0
矛盾
令x 0, 得
2 2 y (ay0 bx0 ) / a
即Y方获胜时的幸存士兵数. 3） 测算失败一方开始应投入兵力.
有如下四种情况: y y y y b a a b o a x o o a o x x x b b f0 f0 f0 f0 f 0 f 0 f 0 f 0
牛顿切线法的基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 . 记纵坐标与 f ( x) 同号的端点为
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵 才能赢得这场战斗？ 4. 战斗持续时间？ 记 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
有微分方程组：
dx ay, (a 0) dt dy bx , (b 0) dt
（ 4）
初始条件为 模型分析: 1. 分析方程组
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数 的积分表示微分方程的解.
数值解法举例：牛顿切线法
f ( x) 满足 : 1) 在 [a, b] 上连续, f (a) f (b) 0
2) 在 [a, b] 上 f ( x) 及 f ( x) 不变号 方程 f ( x) 0 在 (a, b) 内有唯一的实根 .
将战斗力参数值a=0.15, b=0.1 (人/h)代入方程(4)
dx dt 0.15 y , dy 0.1 x , dt x (0) x 0 10000, y(0) y0 5000,
因
2 ay0 0.15 (5000) 2 3.75 106
代入初始条件，有
ay0 bx0 c
双曲 线族
2
2
a( y
2
2 2 2 y0 ) b( x x0 )
2） 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵.
2 2 ,解曲线方程化为 (1) 若 ay0 bx0
ay bx
2
2
y
b x a
一场势均力敌的,导致 相互毁灭的战斗
2 2 , 从相位图观察出Y方将获胜. （2）若 ay0 bx0
令
dx v, dt
得一个二维驻定系统
dx v, dt dv a ( x )v a ( x ). 1 2 dt
一般二维驻定系统形式为 dx P ( x , y ), dt dy Q( x , y ). dt
( 2)
若其解
x(0)=x0, y(0)=y0
1）变量 x≥0，y≥0，有唯一平衡点(0, 0); 2）x(t)，y(t)都是单降函数, 且随着x, y 的减小， 衰减速度也在降低. 2. 分析相位图
1） 求相轨线方程，将两个方程相除，得
dy bx dx ay
2 2
aydy bxdx
ay bx c
定性定量分析
定性--用文字语言图像进行相关描述 定量--用数学语言进行描述
定性分析与定量分析应该是统一的，相互补充 的；定性分析是定量分析的基本前提，没有定 性的定量是一种盲目的、毫无价值的定量；; 定量分析使之定性更加科学、准确，它可以促 使定性分析得出广泛而深入的结论
随着科学技术的发展，常微分方程定性分 析在各个学科领域已成为必不可少的数学工 具，也是数学建模的必备基础理论.
y
( x0 , f ( x0 )) , 在此点作切线 , 其方程为 o x2 x1 x b0 x y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
t
(x, y, t) 解曲线 y 投影曲线 相轨线
t0
o
x
轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相 点的运动方向由原方程确定.
使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的 (x0, y0)称为方程
(2)的平衡点. 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
二. 战斗模型分析
续例 两方军队交战,希望为这场战斗建 立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
x x( t , t 0 , x0 , y0 ) y y( t , t0 , x0 , y0 )
（ 3 ）
存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0, y0, t0). 基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析.
定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.