N
[ x(n) x(n) ]2
n1
2 x(n)
E{[ x(n)]2 }
lim
N
1 N
N
[ x(n)]2
n1
2
2
2
x(n)
x(n)
x(n)
概率密度函数和概率分布函数
❖ 概率密度函数是一幅值变量x的函数，表示信 号瞬时值落在x值附近 x 范围内的概率密度
❖ 若对某一随机信号x(t)进行观察，T为观察时 间，Tx为T时间内x(t)落在 (x, x x) 区间内的总 时间，其幅值落在 (x, x x) 区间内的概率可以 用Tx/T反映，当 T ，其概率为
f2 (t)
eat .....t 0
f (t)
1
1 t
f2 (t)
t
0
F2 ( j ) e (a j )t dt e (a j )t dt
0
a2
j2 2
F ( j) 2
F ( j) lim F2 ( j) a0
.... 0
lim
j2 2
a0 a 2 2 j
2
( j ) .... 0 2
中的一个样本，任何一个样本都不能代表该随机信 号 ❖ [2]在任一时间点上的取值都是一个随机变量，从而 随即信号的描述与随机变量一样，只能用概率函数 和集平均这样的数字特征值来描述。若是各态历经 随机信号，集平均可用一个样本的时间平均来表示。 ❖ 注意：随机变量的数字特征表现为一个确定的数字， 而随机过程的数字特征是一个函数
x0
x
x0 x T T
❖ 概率分布函数是信号瞬时值小于或等于某指
定值的概率，可表示为
x
F ( x) P[x(t) x] p( )d
❖ 显然有
0 F( x) 1,若a b,则F(a) F(b),并有 dF( x) p( x)
dx
p(x)的计算方法
p(x)
lim
1 x
[
lim
] Tx
(t t0) f (t)dt
(t t0 ) f (t0 )dt
f
(t0 )
(t )dt
f (t0)
冲激函数性质
❖ 偶函数
(t) (t)
(t) f (t)dt ( ) f ( )d( ) ( ) f (0)d f (0)
冲激函数性质
积分和微分
t
( )d
T
x 0 T
直方图 以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内 出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。
90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 -1
直方图
-0.5
归一化
0.5
1
概率密度函数
概率分布函数 概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的 概率，其定义为：
R
F (x) p(x)dx
(t )
形
f (t )
0
2
t 0
f (t)连续、df 不连续 dt
F ( )
E A
2
2
F (j) E Sa() 2
F ()与大致成反比
E 2
4 8
F() E Sa2 ( )
2
4
F ()与2大致成反比
F ( )
EA E
E
2
－ 2
升
t
2
余
E [1 cos(2t )] t
弦 f(t) 2
随机信号
❖ 描述随机信号的方式： [1]平均[均值]（包括数学期望、方差和均方 值） [2]概率密度函数和概率分布函数 [3]相关函数和协方差 [4]功率谱密度
平均[均值]
均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。
T
x
E[ x(t)]
lim
1 T
x(t )dt
0
T
x
均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之 为直流分量。
t
t
性质：
偶函数；
波形
闸门(或抽样)函数；
滤波函数；
内插函数。
复指数函数
est et e jt
t
et cost et sint ; s j
图示： 0
j 0
频率
放大
复指数函数性质
（1）实际中遇到的任何时间函数总可以表示为 复指数函数的离散和与连续和。
x(t)
r
cr e srt
随机信号
❖ 随机过程的分类 ❖ 平稳随机过程
支配随机过程的统计规律不随时间而改变 ❖ 非平稳随机过程
支配随机过程的统计规律随时间而改变 ❖ 各态历经随机过程
在固定时刻的所有样本的统计特征和单一样 本在长时间内的统计特征一致的随机过程 ❖ 非各态历经随机过程
随机信号
❖ 随机过程的特点 ❖ [1]随机信号的任何一个实现，都只是随机信号总体
2
0
t
2
f(t)、df 连续 dt
d2 f 不连续 dt 2
2
24 6
F()
E 2
Sa( ) 2
1 ()2
2
F ()与3大致成反比
随机信号
❖ 随机信号的相位、幅值是不可预知的，无法 使用确定的时间函数进行表示，隶属非确定 性信号
❖ 即使在相同的条件下，对信号进行重复观测， 每次观测的结果都不一样的；通过利用统计 大量观测数据可以得到信号的一定规律性
1 sgn( t) 2
t
1 2
t
方法二:利用单边指数函数取极限
u(t ) lim eat (t 0) a0
eatu(t )
1
a j
Fe ( j)
1
a j
a2
a
2
j
a2
2
A() jB()
A() lim A() 0 ( 0) a0
A() lim A() ( 0)
a0
lim lim
方差
信号 x2 x(t)E的[(方x(差t) 定 E义[x为(t：)])2 ]
lim
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)
2
dt
T
大方差
小方差
方差：反映了信号相对均值的波动程度。
均方值
❖ 信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正
平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能
量的一种表达。
随机信号
❖ [3]平稳随机信号在时间上是无始无终的，其 能量也是无限的，不存在傅里叶变换，不能 用通常的频谱表示，也不能用常规的滤波方 法进行处理，需要基于最小估计理论的广义 滤波----维纳滤波、卡尔曼滤波和自适应滤波 技术实现。
❖ 随机信号的能量是无限的，功率是有限的， 采用功率谱方法描述随机信号的频域特征
j
( 0)
幅频
F() 1 2 2
相频
() arctg( )
f(t)
0
F()
1
1 2a
3a
t ( )
2
2
双边指数信号的频谱
f (t) e t ( t )
F
(
)
2 2
2
() 0
sgn(t)的付立叶变换
+1 t>0
f (t) sgn( t)
-1 t<0
eat .....t 0
观测的样本序列，其均值估计为
xˆ
1
N 1
x(n)
N n0
❖ 该估计的均值
ˆ x
E[xˆ ]
E
1 N
N 1
x(n)
n0
1 N
N 1
E[x(n)]
0
❖ 均方值 ❖ 有效值
ˆx2
1 T
T x2 (t )dt
0
xˆ rms
ˆx2
1 T x2 (t )dt T0
各态历经平稳随机序列x(n)
❖ 期望、方差和均方值
x(n)
E[ x(n)]
lim
N
1 N
N n1
x(n)
2 x(n)
E{[ x(n) x(n) ]2 }
lim
N
1 N
(t)
F ( j )
1
0
t
j
0
? (t)
1
1.e jt d
1
cos t d
2
2
lim cost 0
(t) 1
(t t0 )
(t t0 ) e jt0
F ( j )
t0
( j)
t0
冲激偶的傅立叶变换
FT[ (t)] 1
(t)
1 2
e j t d
d (t)
随机信号
❖ 例如：陀螺的漂移，测试信号中的干扰和噪 声，运动体或机械传动中的随机因素影响引 起的振动等，都可以抽象为随机信号
❖ 对随机物理现象每次观察结果都不一样，每 次观察到的时间函数只是可能产生的无限个 时间函数中的一个“样本”，随机现象可能 产生的全部样本的集合[总体]称为随机过程。 随机信号也就是随机过程
2
)
t
F[E]
lim
ESa(
2
)
2E
lim
2
sa(
2
)
P17.1-35
(t)
lim[ k
k
sa (k t)]
E
F[E] 2E ()
F[1] 2 ()
2
2
单位阶跃信号的付立叶变换 方法一
F[u(t)] 1 [1 sgn( t)] 2
F ( j) () 1 j
u(t)