0
2 T0
此式表明该周期方波是由一系列幅值和频率 不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。
4
5
周期方波的描述
6
T0 x2(t)=x1(t- 4
)
7
讨论：

1、时域描述：信号瞬时值随时间变化。 如：振动中反映的是振动的烈度。
2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、 相角大小。 例：寻找振源
1 jfT jfT sin fT e e 2j


θ
40
作业： P40 1-1、1-2、 1-3 更正：

1、 P32页倒数第9行
e j 2ft应改为 e j 2f
2、P40页1-2题中绝对均值 u x 改为 u x 。
41
第3次课
傅立叶变换的主要性质
1 xt T n 0



T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt e jn0t
j tt j
xt
tte xx e 2 2 1 1 jt jjt e x t e dt dt j t 2 dt e d xt Fra biblioteke 2
故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称;
正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。 结论：一般周期函数按傅立叶级数的复指数函数形 式展开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是 奇对称的。
周期信号频谱的三大特点



1）离散性 周期信号的频谱是离散的。 2）谐波性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频 率是诸分量频率的公约数。 3）收敛性 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位 角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势 是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析 中没必要没必要取那些次数过高的谐波分量。
30
准周期信号 非周期信号 非周期信号 瞬变非周期信号
判断对错：
具有离散频谱的信号不一定是周期信号。 （√） Or 几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。（ √ ）
周期信号—由很多简谐信号叠加而成， 任意两个谐波的频率比都是有理数
准周期信号—由很多简谐信号合成， 存在至少两个谐波的频率比是无理数
xt dt
T0 0
3）有效值—是信号的均方根值
1 T0

T0
0
x 2 t dt
4）平均功率—有效值的平方（均方值）就是信号的平均功率
1 pav T0

T0
0
x t dt
2
27
28
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
一、傅立叶变换
二、傅立叶变换的性质
三、典型信号频谱
29
另外，与周期信号不同的是，非周期信号 的谱线出现在0，fmax的各连续频率值上，这种 频谱称为连续谱。
3、两者描述的是同一信号，只是变换域不同，
研究的方面不同。
8
9
10
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅立叶级数的三角函数展开式
二、傅立叶级数的复指数函数展开式
三、周期信号的强度表述
一、傅立叶级数的三角函数展开式
在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数 （信号）可以展开成傅立叶级数。
bn tan n an

d d

jt jt e dt dt e




式1-25
——这就是傅立叶积分
1 式1-26 X 2
式1-27




xt e jt dt
jt
—傅立叶变换 —傅立叶逆变换
xt X e d

4 22 2A 4 2 A x n 00tdt tdt A t cos n tdt xt t cos cos n A t cos n tdt 0 0 0 0 T TT T 00 0 0
TT

4A A 4 2 n 2 sin 22 22 sin 2 nn 2
三、周期信号的强度表述

周期信号的强度以峰值xp、绝对均值u| x| 、有 效值xrms和平均功率pav来表述。见下图：
25
1） 峰值 x p 是信号可能出现的最大瞬时值，即 峰-峰值
x p p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差
1 x T0
xrms
x p xt max
2）绝对均值—周期信号全波整流后的均值
对于非周期信号的理解



注意：通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号 准周期信号具有离散频谱
T0 T0 , 以傅立叶级数表示为 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
xt
1 将 cn T0
则得

n T0 2 T0 2
c e
n

jn 0t
xt X
FT
两者称为傅立叶变换对，可记为
2f
IFT
代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为
j 2ft
X f xt e

dt
xt X f e
j 2ft
df
关系
X f 2X
f 的复函数，可以写成
常值分量 余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
0 0 —圆频率，
n 1 ,2,3,
T0
—周期
2 ; T0
例：求下图周期性三角波的傅立叶级数
X(t)
A
-T0/2
T0/2
t
解：在x(t)的一个周期中可表示 为
Ⅰ
常值分量
余弦分量的幅值
2 an T
T 0 T 2 220 T T 00 T 00 22
正弦分量的幅值
4A A 4 22 2 2 n n 0 0
n 1,3,5,
n 2,4,6,
T0 2 T0 2
2 bn T0

xt sin n 0tdt 0
结果：
A 4A 1 1 xt 2 cos 0t 2 cos 3 0t 2 cos 5 0t 2 3 5 A 4A 1 2 2 cos n 0t n 1,3,5 2 n 1 n
21
负频率说明
主要原因：
Im
A/2 ω0 角速度按其旋转方 A 向可以为正或负， 一个矢量的实部可 以看成为两个旋转 方向相反的矢量在 其实轴上投影之和， Re 而虚部则为虚轴上 投影之差。
0
-ω 0
例题1-1 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。 解 ：根据式子
1 jj 00tt jj 00tt 1 cos 00tt e e e e cos 2 2 00tt jj 1 j t 1 j t sin 00tt jj e e e e 00 sin 2 2
可见： 周期性三角波频谱，其幅 频谱只包含常值分量、基 波、和奇次谐波的频率分 量，谐波的幅值收敛。 在其相频谱中基波和各次 谐波的初相位均为零。
二、傅立叶级数的复指数函数展开式

根据欧拉公式： 有
式可改写成
令令
则
则
或
或
(n=1,2,3,…)
一般情况下 cn 是复数
cn 与 c n共轭
一些分析
3
（二）信号的时域描述和频域描述 （1） 时域描述：以时间t为独立变量的描述方法。 x(t) 例： A
T0/2
-T0/2
0 -A
t
（2） 频域描述：以频率ω 为独立变量的描述方法。 例：对上例应用傅立叶级数展开：
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ...) 3 5 4A
An an bn
2 2
或
狄里赫利条件——⑴ 在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积； ⑵ 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和极小值； ⑶ 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续 点上， x(t) 的函数值必须是有限值。
an tan n bn

ⅲ.若x(t)是虚偶函数 → X（f）是虚偶函数
ImX(f)=0
证明：若 x(t)是虚偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)虚偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是虚偶函数

余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
ⅰ.若x(t)是实偶函数 → X(f)是实偶函数
证明：若 x(t)是实偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)实偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是实偶函数
ImX(f)=0
ⅱ.若x(t)是实奇函数 → X(f)是虚奇函数
证明：若 x(t)是实奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)实奇 故X(-f)= -jImX(-f)= jImX(f)=- X(f)是虚奇函数
xt e
jn 0t
dt 代入上式
jn 0t
1 xt T n 0


T0 2 T 0 2
xt e
jn0t dt e
当 T0 趋于无穷大时，频率间隔 成为 d，离 n0成为连续变量 ， 散频谱中相邻的谱线紧靠在一起， 求和符号 就变为积分符号 ，则
熟悉傅立叶变换的性质的重要意义
简化作用！！！
（一）、奇偶虚实性
一般X(f)是实变量f的复变函数。