1 X( ) 2

j t x ( t ) e dt （1－26）

x( t ) X ( )e jt d
（1－27）
在数学上，称X(ω)为x(t)的傅里叶变换， x(t)为X(ω)的傅里叶逆变换，记为
FT x( t ) X( )
X ( ) IFT x( t )

以ω为独立变量，此式即为该周期方波的频域描述。 在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出，按序 排列，得出信号的“频谱”。 若以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐标，便 分别得到信号的幅频谱和相频谱。图1－5。
表1－1的说明: 每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱， 因此，在频域中每个信号都需要同时用幅 频谱和相频谱描述才是完整的。
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。 • 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0) 式中，T0——周期。
• 非周期信号：
–定义：不具有周期重复性的确定性信号。 –非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周 期信号两类。
–准周期信号：由多个具有不成比例周期的正 弦波之和形成，或者称组成信号的正（余） 弦信号的频率比不是有理数 。 –瞬变非周期信号：或在一定时间内存在，或 随着时间的增长而衰减至零的信号。
三种瞬变非周期信号
x(t)—矩形脉冲信号；
y(t)－衰减指数脉冲信号；
z(t)－正弦脉冲；
2、连续信号和离散信号 • 分类依据：
–自变量（即时间t）是连续的还是离散的 。 –信号的幅值是连续的还是离散的 ；
• 连续信号：
–自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ； –自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信 号。
• 离散信号：
–信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，则称 该信号为被采样信号。 –信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信号 ；
二、信号的时域描述和频域描述
时域描述：以时间为独立变量；反映信号的幅值随时 间变化的关系； 频域描述：以频率为独立变量，由信号的时域描述通 过适当方法变换得到；反映信号的频率结构和各频率 成分的幅值、相位关系。 图1－4周期方波的傅里叶级数展开式：
1 1 x( t ) (sin 0t sin 30t sin 50t ) 3 5 2 0 T0
4A
式中ω0=2π/T0。ω0称为基波频率，简称基频。 上式可改写为：
x( t ) 4 A

0
n
1 ( sin t ) n 1 n n 1 ,3 ,5
第二节 周期信号与离散频谱 一、傅里叶级数的三角函数展开式
在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足狄里赫利条件 时可展开成傅里叶级数：

x( t ) a0 ( an cos n0t bn sin n0t )
n 1
(1-7)
式中，
1 20 a0 T0 x( t )dt T0 2 2 T0 / 2 an x(t ) cos n0tdt T0 T0 / 2 2 T0 / 2 bn x(t ) sin n0tdt T / 2 T0 0
3. 时间尺度改变特性
x( t ) X ( f ), 1 f x( kt ) X ( ) k k
为什么要对信号进行频域描述：
信号的时域描述反映了信号瞬时值随时间变化的情况， 频域描述反映了信号的频率组成及其幅值、相角的大 小。 为解决不同问题，需掌握信号不同方面的特征，因而 可采用不同的描述方式。例如：评定机器振动烈度 （时域描述）和寻找振源（频域描述）。 两种描述方法能互相转换，而且包含同样的信息量。
非周期函数x（t）存在傅里叶变换的充 分条件是x（t）在区间(-∞, ∞)上绝对 可积，即



x ( t ) dt
但上述条件并非必要条件。因为当引 入广义函数概念之后，许多原本不满足绝 对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
• 小结： –从式（1－29）可知，一个非周期函数可分解成频率f 连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的 系数，决定着信号的振幅和相位。 –X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。 –由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为
x( t )为实偶函数， Im X ( f ) 0 X ( f ) Re X ( f ) X ( f ) x( t )为实奇函数， Re X ( f ) 0 X ( f ) －j Im X ( f ) X ( f )
2. 对称性
若x ( t ) X(f )
则X( t ) x (f )
求傅里叶级数的复系数Cn
一般情况下，Cn是复数，可写成 Cn cnR jcnI Cn e j n 其中
2 2 Cn CnR CnI
CnI n arctg CnR
cn与c n 共轭，即 cn c n , n n
绘制复指数形式的频谱：
•幅频谱图和相频谱图 •实频谱图和虚频谱图
T
信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式：

x( t ) a0 An sin( n0t n )
式中，
n 1
A a 2 b 2 n n n an tg n b n
n＝1,2, …
n 称初相角。 An称信号频率成分的幅值，
讨论： 式中第一项a0为周期信号中的常值或直流分量 ； 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次 谐波、三次谐波、……、n次谐波 ； 将信号的角频率ω0作为横坐标，可分别画出信号幅值 An和相角 n 随频率ω0变化的图形，分别称之为信号的 幅频谱图和相频谱图。 由于n为整数，各频率分量仅在nω0的频率处取值，因 而得到的是关于幅值An和相角 n 的离散谱线。
T/2



sin c
sin

波形图
函数的幅频谱和相频谱分别为
W f T sin cfT
0, sin cfT 0 ( f ) , sin cfT 0
二、傅里叶变换的主要性质 1. 奇偶虚实性
X ( f ) x( t )e
d jt jt x( t ) x ( t ) e dt e 2 1 jt jt x ( t ) e dt e d 2

（1－25）
将上式中括号中的积分记为X(ω),则有
机械工程测试技术基础
第一章 信号及其描述
•第一节 信号的分类与描述 •第二节 周期信号与离散频谱 •第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 •第四节 随机信号
第一节 信号的分类与描述
一、信号的分类
1、确定性信号和随机信号 –确定性信号：可表示为一个确定的时间函数， 因而可确定其任何时刻的量值。 –随机信号：具有不能被预测的特性，无法用数 学关系式来描述，只能通过统计观察来加以描 述的信号。
★周期信号的频谱是离散的!
例题1－1，求图1－6中周期三角波的傅里叶级数。
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
由欧拉公式可知 ：
e jt
1 jt jt cos t 2 ( e e ) cos t j sin t( j 1 ) j jt jt sin t ( e e ) 2
•
例如某大型水电站在某一发电工况下，其厂 房产生强烈振动。按理论分析和经验估计，振源 可能来自水轮机或发电机的机械振动，或来自流 道某一部份（如引水管、涡壳、导叶、尾水管） 的水体振动。为查找振源及振源向厂房传递的路 径，在水轮发电机组和厂房的多处安置拾振器， 在流道多处安置压力传感器。试验时，用多台磁 带记录仪同步记录近百个测点的振动及压力波动。 试验完后，对记录的信号进行频谱分析，查找出 强振振源来自导叶与尾水管间的局部水体共振。
则
n 1
x ( t ) C 0 C n e jn 0 t C n e jn 0 t
n 1
n 1, 2 , 3
或

x(t)
n
C e
n
jn0 t
n 0,1,2, (1-15)
这就是傅里叶级数的复指数展开形式。
T0 / 2 1 T0 / 2 Cn x ( t ) cos n tdt j x ( t ) sin n tdt 0 0 T / 2 T / 2 0 0 T0 1 T0 / 2 x( t )e jn0t dt n 0 ,1,2 , T0 T0 / 2
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 一、傅里叶变换
设x（t）为(-T0/2,T0/2)区间上的一个周期函数。它 可表达为傅里叶级数的形式：

x (t )
式中
n
jn 0 t C e n
1 Cn T0

T0 / 2
T0 / 2
x( t )e jn0t dt
将cn代入上式得


j 2ft
dt Re X ( f ) j Im X ( f )
Re X ( f ) x( t ) cos 2ftdt Im X ( f ) x( t ) sin 2ftdt

讨论：
x( t )为实函数， Re X ( f ) Re X ( f ), Im X ( f ) Im X ( f )
cn 和 n
cnR 和cnI
注意：复指数函数形式的频谱为双边谱（幅频 谱为偶函数，相频谱为奇函数），三角函数形式 的频谱为单边谱，二者的量值关系：
1 cn An , c0 a0 2
例题1－2 ：画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。