圆周运动讲义 Revised as of 23 November 2020
圆周运动讲义
【知识点】
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧的长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，虽然匀速圆周运动的速度大小不变，但它的速度的方向时刻在发生变化，所以匀速圆周运动不是匀速圆周运动，而是匀速率圆周运动。
2．线速度v
①物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量；
②定义：质点沿圆周运动通过的弧长s和所以时间t的比值叫做线速度
③大小：v＝s/t，单位：m/s
④矢量，它的方向是质点在圆周上某点沿圆周上的切线方向。
实际上就是该点的瞬时速度。
3．角速度
①物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢
②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间t的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：＝/t，单位：rad/s
④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期T、频率f和转速n
①周期T：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周期。
在国际单位制中，单位是秒（s）。
匀速圆周运动是一种周期性的运动。
②频率f：每秒钟完成圆周运动的转数。
在国际单位制中，单位是赫兹（Hz）。
③转速n：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数。
在国际单位制中，单位是转/秒（n/s）.
匀速圆周运动的T、f和n均不变。
5．描述匀速圆周运动的物理量之间的关系
①线速度和角速度间的关系:
②线速度和周期的关系:
③角速度和周期的关系:
④周期和频率之间的关系:
6.描述圆周运动的动力学物理量———向心力
（1）向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。
向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。
做匀速圆周运动的物体向心力是所受外力的合力
做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。
（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：
222
24T
r m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。
（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。
（4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
【典型例题分析】
【例1】如右图所示皮带传动装置，主动轴O 1上有两上半径分别为R 和r 的轮，O 2上的轮半径为r '，已知R ＝2r ，R ＝r ′，设皮带不打滑，问:ωA ∶ωB ＝ ωB ∶ωC ＝ v A ∶v B ＝ v A ∶v C ＝
【例2】一把雨伞，圆形伞面的半径为r ，伞面边缘距地面的高度为h 。
以角速度旋转这把雨伞，问伞面边缘上甩出去的水滴落在地面上形成的圆的半径R 为多少 【例3】m ＝1kg ，r ＝5cm ，ω＝10rad/s ，最大静摩擦力静止状态在该处处于静止的最大ω是多大
【例4】长为L 的细线，栓一质量为m 的小球，一端固定于O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，摆线L 与竖直方向的夹角为α。
求： （1）线的拉力F
（2）小球运动的线速度的大小 （3）小球运动的角速度及周期
A
ω
r m
【例5】在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。
当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）
A 、弹力增大，摩擦力也增大了
B 、弹力增大，摩擦力减小了
C 、弹力和摩擦力都减小了
D 、物体所受弹力增大，摩擦力
不变
【例6】某辆汽车以速度为72km/h 通过凸形桥最高点，这时对桥的压力是车重的一半，则凸形桥圆弧形桥面的半径是多大欲使该车通过桥最高点时对桥面的压力恰好为零，则此时的汽车的行驶速度应该是多大（g 取10m/s 2）。
【例7】用长为L=的绳子系着装有m=水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”，求：①在最高点水不流出的最小
速度为多少
②若过最高点时速度为3m/s ，此时水对桶底的压力为多大 【例8】如图所示，杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平
面内绕轴O 自由
转动，已知在最高点处，杆对小球的弹力大小为F=mg/2，
求此时小球的瞬时速度大小。
【例9】、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．
g mr m M + B ．g mr m
M + C ．
g mr m M - D ．
mr
Mg
【例10】如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为m ，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设
Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；
C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；
D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。
【例11】如图所示，细绳一端系着质量m=0．1 kg 的小物块A ，置于光滑水平台面上;另一端通过光滑小孔O 与质量M=0．5 kg 的物体B 相连，
B 静止于水平地面上．当A 以O 为圆心做半径r =0．2m 的匀速圆周运动时，地面对B 的支持力F N =3．0N ，求物块A 的速度和角速度的大小．(g=10m/s 2)
【例12】如图所示，一个人用一根长1m ，只能承受46N 拉力的绳子，拴着一个质量为1㎏的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知圆心O 离地面h=6m 。
转动中小球在最底点时绳子断了，
（1）绳子断时小球运动的角速度多大
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。
【例13】如图所示，质量为m 的小球以速度V 冲上放在竖直平面内的光滑园轨道，刚好能够到达轨道的顶部，如图所示，求小球飞离轨道顶部后落地点距离圆心O 的水平距离设轨道的半径为r 。
【例14】如下图所示，ABC 为一细圆管构成的
4
3
园轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R （比细圆管的半径大得多），OA 水平，OC 竖直，最低点为B ，最高点为
C，细圆管内壁光滑。
在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动。
已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力。
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道
对小球的支持力大小；
（2）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A
A点的高
度为多大。