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如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
E 短C 截
1
2
A
4长
补 3
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
.
截长补短法
例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平 分线交BC于E. 求证：AB+BE=AC．
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
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连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
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连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
在证明过程中描述添法
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
思考:
B
C
D
(1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
(2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
=BC
B
D
E
C
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.
若A1
A 2
=6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
=A 1
B+
A 2
C+BC
=A A
12
O
B A
N C
A2
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
BE+BD+DE
C D
=BE+BD+CD
=BE+BC
A
B E
=BE+AC
=BE+AE
=AB .
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
=BD+CE+DE
AB+BC+AC
A
=AB+ BM+MC+6
=AB+ BM+AM+6
求证：EAF45o
A
D
F
BE
C
.
•如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，
ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交 BAC 的平分线ＡＤ
于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于 Ｎ． 求证：ＢＭ＝ＣＮ．
A
M
B
E
C
N D
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
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Ⅳ.中线延长一倍
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) A 2
延长AD到点E，使DE=AE，
连结CE.
C B
D
思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？
E
.
截长 补短
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
Hale Waihona Puke C在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
P C
E
A
D
B
.
联系生活
问题1:在某一乡村公路L的同侧，有两个村庄A、B，为
了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建 一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试问医院的院 址P应选在何处？
C A
B
P L
D
.
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人 看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄 的距离相等，试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有
C
怎样的关系？
G
.
三角形三条边的中垂 线是交于一点的，这 个点到三个顶点距离 相等
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
.
连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
.
角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点A和一条线MN 语言描述:过点A作AH⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 1.有没有其他辅助线的做法
2.你从本题中还能得到哪些结论?
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
A
D
G
B
E
C
F
.
旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试
用旋转方法构造全等三角形。
例3 如图所示，已知点 、 分别在正方形 的边
与 上.，并且 AF平分∠ EAD ，求证：
A
B E D F A E
D
F
G
B
EC
.
•如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上， ．•Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD
构造两个等腰三角形
.
连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
.
连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
.
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
如图：PD、PE分别垂直平分线段 AB、BC， 则PA____PC