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小波的基本概念——什么是小波
为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势
幅度 幅度
时间
傅 立 叶 变 换
时间
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小波的基本概念——什么是小波
幅度
时间
频率
短 时 傅 立 叶 变 换
时间
时间
尺度
小 波 变 换
幅度 A |Y(f)|
1 0.5
0 -0.5
-1 0
信 号 x(t)的 时 域 波 形
0.5
1
1.5
时 间 t/s
信 号 x(t)的 单 边 频 谱 0.5
0.4
0.3
0.2Leabharlann 0.102
0
10
20
30
40
50
频 率 f/Hz
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小波的基本概念——什么是小波
时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同 样的可以应用于平稳信号的分析
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x( tx2)f(x)dRxx()m,x t2t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
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小波的基本概念——什么是小波
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于 非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
时间
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幅度
小波的基本概念——什么是小波
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小波的发展历史——工程到数学
1807: Joseph Fourier——FT，只有频率分辨率而没 有时间分辨率 1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1945: Gabor——STFT 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70 年代提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了 连续小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小 波 1988： Stephane Mal精la品t课—件—Mallat快速算法（塔式14 分解和重构算法）
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小波变换原理与应用
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主要内容
小波的基本概念——什么是小波 小波的发展历史——工程到数学 小波的基本类型——多分辨分析 小波的快速算法——Mallat算法 小波包分解算法——精细化处理 小波的工程应用——时频分析与降噪等 小波的结合应用——小波网络等
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小波的基本概念——什么是小波
在当代信息社会，诸多领域都会涉及到信号的分析、 加工、识别、传输及储存等问题。长期以来，傅里叶 变换一直是处理这方面问题最重要的工具，并且已经 发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有 效的方法。 但是傅里叶分析的致命弱点是不能做局部分析，只适 用于平稳信号的分析。而在实际中，瞬变信号大量存 在，人们往往需要的是某一时问内的某一频段的信息 。为克服傅里叶分析的不足，出现了小波分析。
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件
的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波
变换的可逆性。
(x) ()
()2
C
d
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域， 在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质 ，并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(x) (x)dx0
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小波的基本概念——什么是小波
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
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4
小波的基本概念——什么是小波
小波的“容许”条件
➢ 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法 ，信息为瞬时频率、瞬时能量谱
信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或 者哪几种信号表示方法
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小波的基本概念——什么是小波
平稳信号
f ( x 1 ,x 2 , ,x n ; t 1 ,t 2 , ,t n ) f ( x 1 ,x 2 , ,x n ; t 1 ,t 2 , ,t n )
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小波的基本概念——什么是小波
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
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小波的基本概念——什么是小波
➢ 原始小波称为母小波。母小波在时域、频域的 ➢ 有效延伸范围有限,位置固定。为了分析时域、频域的
有效延伸范围与位置不同的信号,小波的时域、频域有 效延伸范围与位置应能调节。采用的办法是对母小波 进行伸缩、平移,生成以下函数族: ➢ 其中a称为伸缩因子，b称为平移因子。
在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小 波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解 和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得 到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号 处理、图像信息处理等
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小波的基本类型——多分辨分析
小波变换是将信号分解成一个叫做小波的基函数序列, 而这些基函数则使用一个原型小波采取伸缩和平移(即 定尺度和定偏移量)的方法获得。因此,每一个小波都可 以用两个参数来描述,即尺度和位置。小波变换能够把 任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一 组小波函数上去,实现信号在不同时刻、不同频带的合 理分离而不丢失任何原始信息,小波变换方法所具有的 这种时频灵活性可以在通信及信号处理领域实现时域 频域的无缝隙过渡。
小波的发展历史——工程到数学
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了 小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系， 使离散小波分析变成为现实
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学 家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要 贡献