b a 2 f ( x) 1 f ( x)dx.
若平面光滑曲线C由参数方程 x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出.则曲线 C 绕 x 轴旋转一周所得 旋转曲面面积为 S 2 y (t ) x (t ) y (t )dt.
2 2


若平面光滑曲线C由极坐标方程 r r ( ), [ , ] 给出 。 则此曲线绕极轴旋转一 周所得的 旋转曲面面积为 S 2 r ( ) sin r ( ) r ( ) d .
12 2 Key : S a . 5
例3、求心形线r a(1 cos ) 曲面的面积。
(a 0,0 2 ) 绕极轴旋转所成
32 2 Key : S a . 5
作业:P262
1(2)(4)；3（2）
前面所求的平面图形面 积、立体体积 和曲线 的弧长, 用微元法来处理，所求 的 微元表达式为
S y x, 且dS y dx; V S ( x)x, 且dV S ( x)dx;
s 1 y x, 且ds 1 y dx;
2 2
二、旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C的方程为y f ( x), 其中x [a, b], 且f ( x) 0, 则该曲线绕 x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为
2 dS 2 f ( x) 1 f ( x) dx ,o2aFra bibliotekS( x)
x
x dx
b
x
S 2 f ( x) 1 f ( x)dx.
a
b
若平面曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 给出 。 则当 f ( x)在 [a, b]上连续可微时 , 此曲线 是绕x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为 S 2
§10.4
一、微元法
旋转曲面的面积
任意小的区间[ x, x x] [a, b], 若 且当x 0时， f ( x)x o(x), 即： d f ( x)dx.
微元法的关键在于如何 给出的 近似表达式 .
f ( x)x, 其中f ( x)在[a, b]上连续，
2 2


例1、求将曲线 x ( y b) a (b a 0),
2 2 2
绕 x 轴旋转所成曲面的面积.
Key : S 4 ab.
2
例2、求星形线x a cos t , y a sin t
3 3
(a 0,0 t 2 ) 绕轴旋转所得的旋转 曲面的面积。