一、直线一级倒立摆的仿真(一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

图2 直线一级倒立摆模型φ摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。

图3 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：把这个等式代入式1中，就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sinθ，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程：设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：。

用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：或如果令v = x，则有：把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为：方程组对解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：设则有：实际系统的模型参数如下:M 小车质量 1.096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5mI 摆杆惯量0.0034 kg*m*m 把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：(二)倒立摆的PID调节：经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。

PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。

首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。

系统控制结构框图如下：图1 直线一级倒立摆闭环系统结构框图图中KD(s)是控制器传递函数, G(s)是被控对象传递函数。

考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成：图2 直线一级倒立摆闭环系统结构框图该系统的输出为：()()()1()()()()()G s num denPID F S KD S G S denPID den num numPID =++ 其中 num ——被控对象传递函数的分子项den ——被控对象传递函数的分母项numPID ——PID 控制器传递函数的分子项denPID ——PID 控制器传递函数的分母项通过分析上式就可以得到系统的各项性能。

摆杆角度和小车加速度的传递函数：22()()()s ml V S I ml s mglϕ=+- PID 控制器的传递函数为：()()()()I D p K num PID KD s K s s K S den PID =++= 需仔细调节PID 控制器的参数，以得到满意的控制效果。

小车位置输出为：2()()X s V s s =通过对控制量v 双重积分即可以得到小车位置。

由实际系统的物理模型：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s ϕ=- (三) simulink 仿真在Simulink 中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：其中Scope 中的图像为位移的响应曲线，Scope1为角度的响应曲线。

PID参数的调节：首先确定比例环节，不考虑微分环节和积分环节，分别取三组数据p 9;0;0I DK K K===，p 20;0;0I DK K K===，p 40;0;0I DK K K===，仿真结果如下：图（1）p 9;0;0I DK K K===图（2）p 20;0;0I DK K K===图（3）p 40;0;0I DK K K===图（1）的图像不收敛，是由于比例调节系数取得不得当，随着比例系数pK 的增大，从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。

为消除系统的振荡，增加微分控制参数DK。

下面探讨DK环节对系统响应的影响，分别取p 40;0;1I DK K K===，p 40;0;5I DK K K===，p 40;0;10I DK K K===，p 40;0;20I DK K K===，仿真响应结果如下图：图（1）p =40==1I DK K K；0；图（2）p 40;0;5I DK K K===图（3）p 40;0;10I DK K K===图（4）p 40;0;20I DK K K===图（1），p 40;0;1I DK K K===，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数DK，图（2）的超调明显减少，而到了图（3），基本没有是渐进稳定的，但是无论怎么调节，都存在稳态误差，因此，加入积分环节IK。

为了探讨积分环节的作用，去以下三组数据，p 40;5;10I DK K K===，p 40;10;10I DK K K===，p 40;20;10I DK K K===，仿真结果如下：图（1）p 40;5;10I DK K K===图（2）p 40;10;10I DK K K===图（3）p 40;20;10I DK K K===由上图可以看出，从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。

可以从Scope1看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。

二、 直线一级顺摆建模和实验(一) 直线一级顺摆的数学建模直线一级倒立摆的摆杆在没有外力作用下，会保持静止下垂的状态，当受到外力作用后，摆杆的运动状态和钟摆类似，如果不存在摩擦力的作用，摆杆将持续摆动，很多情况下，我们并不希望出现这种持续振荡的情况，例如吊车在吊动物体的时候，我们希望物体能过很快地停止到指定的位置。

下面我们对直线一级顺摆进行建模分析，并对其进行仿真和控制。

同直线一级倒立摆的物理模型相似，可以采用牛顿力学和拉格朗日方法进行建模和分析，对于牛顿力学方法，这里不再进行分析和计算，读者可以参考直线一级倒立摆的物理模型对其进行建模，下面采用拉格朗日方法对直线一级顺摆进行建模。

和直线一级倒立摆相似，直线一级顺摆也可以进行根轨迹校正实验、频率响应校正实验和状态空间极点配置实验，以上实验请参照直线一级倒立摆的相关实验和直线一级顺摆的 PID 控制实验进行，对于直线一级顺摆，我们只进行 PID 控制实验和LQR 控制实验。

图1 ，顺摆物理模型摆杆角度和小车位移的传递函数：22()3()29.4s s V s s ϕ-=+ 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：22()3()29.4s s V s s ϕ-=+ 因此以小车加速度作为输入的系统状态方程：和一级倒立摆相同，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。

(二)倒立摆的PID调节Simulink的PID仿真：首先确定比例环节，不考虑微分环节和积分环节，分别取三组数据p 10;0;0I DK K K=-==，p 20;0;0I DK K K=-==，p 40;0;0I DK K K=-==，图像依次如下：可以看出，在P控制器作用下，系统呈现等幅振荡，需要给系统增加微分控制，设置PID参数为：p 40;0;5I DK K K=-==-，p 40;0;10I DK K K=-==-，p 40;0;20I DK K K=-==-图像如下：有图可以看出，随着微分系数DK的减小，稳定时间延长，振荡减缓，但是始终存在稳态误差，因此，加入积分环节IK。

分别取以下值，以确定积分系数，p 40;5;10I DK K K=-=-=-，p 40;10;10I DK K K=-=-=-，p 40;20;10I DK K K=-=-=-仿真图像如下：从图中可以看出，稳态误差已经基本消除了。

三、倒立摆PID控制器仿真结果通过单一变量变化法对P，I，D每个参数的参数进行了研究，得出结论如下：1.比例调节器(P)：采用P调节器要选择合适的比例带参数。

比例带参数小时，系统已发生振荡且稳态误差减小；参数大时，动态偏差和稳态误差增大，但稳定性提高。

2.比例积分环节（PI）：PI调节器兼顾了比例调节器和积分调节器的作用，其既具有比例调节器的快速稳定特点，保证了调节过程不会出现过分振荡；又具有积分调节器没有稳态误差的优点。

3.比例微分调节器（PD）：增加微分环节后，可起到超前调节作用，一旦偏差e出现变化趋势，即可发挥调节作用，故可以减少调节过程中被调量得动态偏差，同时减小了调节过程中的振荡倾向。

4.比例积分微分调节器（PID）：PID兼顾了以上三种调节器的优点，既能靠积分作用消除被调量的静态误差，有能靠微分环节改善动态过程的品质。

调节的参数有三个，只要调节得当，就会出现非常好的效果，但过程较复杂，一般用于多惯性对象系统。

在仿真时，参数的选择既有优点，也有缺点，因此更重要的是根据实际的情况，在实践的基础上对参数进行修正。