抛物线中的定值、定点问题
例1 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.
【规范解答】
证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.
证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y p
y B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,2
2(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)2
2()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故
221p y y -=.
证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为
.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明
.2
11111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ；同理.43∠=∠而
011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故
01804321=∠+∠+∠+∠，
所以.90310=∠+∠0
1190=∠FB A . 由直角三角形的性质得：.2
11111F F F B F A =⋅
【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；
（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +
=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不
可能与y 轴垂直，设2
p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；
（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2
p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！
借题发挥
在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得： 变式1 条件同例1，则4
2
21p x x ==定值。

以AB 为直径作圆，考察该圆与准线的位置关系得：
变式2 条件同例1，则以AB 为直径的圆与准线相切。

设直线AB 的倾斜角为θ，计算AB 弦长得:
变式3 条件同例1，设直线AB 的倾斜角为θ，则θ2sin 2||p AB =
.（由此立刻得到：当090=θ时焦点弦最短，,2min p AB =我们称这条弦为通径）
在变式2中,计算AOB S ∆得:
变式4 条件如变式3，则AOB S ∆.sin 22θ
p =. 提示：给出倾斜角为θ，意味着斜率θtan =k （先验证090=θ时p AB 2=），设直线AB 的方程为
)2
(p x k y -=代入px y 22=可得21x x +，由于AB 过焦点，依据抛物线的定义可得焦点弦p x x AB ++=21，代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图1中用几何方法证明.
结合抛物线定义与韦达定理,研究AF 、BF 例数之和得：
变式5 条件同例1，求证：||1||1BF AF +为定值p
2. 将结论视作条件，逆向变式得：
变式6 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：2
21p y y -=(或4
2
21p x x =)，则这条直线过此抛物线的焦点.
我们可以把上面的变式归纳如下：
方法点拨
抛物线焦点弦的两端点的横（纵）坐标之积为定值是一个经典结论，若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.
小结论
通径公式：θ
2sin 2||p AB = 变式7 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：0=⋅，则
这条直线过定点.
变式8 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：2=⋅OB OA ，则这条直线过定点.。