抛 物 线 （二）
掇刀石中学 王宏斌
[教学目标]
1、知识与技能目标：
掌握抛物线中有关焦点弦的重要性质，提高代数推理能力.
2、过程与方法目标：
让学生经历探求结论的全过程，体验从特殊到一般的思维方法，形成认识问题和解决问题的一般思维.
[教学重点] 从特殊到一般的思维方法；向量法的应用.
[教学难点] 代数推理
[教学方式] 启发引导，自主探究.
[教学用具] 投影仪，多媒体辅助教学
[教学过程]
一、探究程序：
学生：独立思考＝＞小组讨论＝＞交流互补＝＞形成结论
教师：设置问题＝＞启发诱导＝＞点拨释疑＝＞激励完善
二、探究过程：
[问题1]过抛物线Px y 22=（P ＞0）焦点F 的一条直线交抛物线于A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)两点，试问21y y 是否为定值？x 1x 2=____.
问题1的推广：
设过点E （a ，0）（a ＞0）的一条直线与抛物线Px y 22=（P ＞0）相交于A （1x ，
1y ）
，B （2x ，2y ）两点，21y y 是否为定值?21x x =____. [问题2]过抛物线Px y 22=（P ＞0）焦点F 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交准线于C 点，求证:直线BC 平行于抛物线的对称轴.
问题2的逆命题是什么？怎样构造它的逆命题？
分析：问题2的条件是： （1） AB 经过焦点F ；（2） AC 经过原点O.
结论是：BC //x 轴
逆命题1：若AB 经过焦点F ，且BC //x 轴，则AC 经过原点O.
逆命题2：若AC 经过原点O ，且BC //x 轴，则AB 经过焦点F.
问题2的逆命题是否正确？
逆命题1：
设抛物线 的焦点为F , 经过F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C
在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴, 求证：AC 经过原点O.(01年高考题）
法1：
设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) ,则 C(2p -
, y 2) ∴1211
112222,22y p p
y y x y k p y p y k OA OC ===-=-= 又 y 1y 2= -p 2 ∴1222y p p y =-
即 k OC = k OA 所以AC 经过原点O
法2：
)0(22>=p px y
设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y2)，C(2
p -, y 2)， 则OC =（-2
p ，y 2），OA =（x 1，y 1） y 1y 2= -p 2 ∴0)(2221
2
211211=---=--y p p y y p y x y p 所以OC //OA 又OC 与OA 共起点O ，
所以A 、O 、C 三点共线，即AC 经过原点O.
[问题3]过抛物线y x 42=上一点P （0，1）作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，设点P 分向量所成的比为λ，求证：无论λ为何正数，向量与向量-λ的夹角总为定值.
证明：依题意，可设直线AB 的方程为y=kx+1，代入抛物线方程x 2=4y ，
得x 2-4kx-4=0 ①
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1,x 2是方程①的两根. ∴x 1x 2=- 4
由点P(0,1)分AB 所成的比为λ,得0121=++λ
λx x 即21x x -=λ 又Q 点是P 点关于原点的对称点, ∴Q(0,-1),从而QP =(0,2)
QB QA λ-=(x 1 , y 1+1)- λ(x 2 , y 2+1)=(x 1-λx 2 , y 1-λy 2+(1-λ))
)(QB QA QP λ-⋅=2 [y 1-λy 2+(1-λ)] =)]1(44[22
1222121x x x x x x ++⋅+ =0444)(244)(22
2122121=+-⋅+=+⋅+x x x x x x x x
故QP 与QA -λQB 所成角总为定值900
[小结提炼] 1、思想方法：从特殊到一般；
2、证明方法：向量法；
3、代数推理（严谨、严密）.
[课后训练题]
１、设过点E (a ,0)(a >0) 的一条直线与抛物线y 2=2px (p>0)相交于A 、B 两点，C 是直线x=-a 上一点,且BC ∥x 轴,求证:AC 经过原点O .
2、在抛物线y 2=2px(p ＞0)上任取一点B(除去原点),过B 点作BC//x 轴, C 点在抛物线的准线上,连结CO,延长CO 交抛物线于A 点,求证:AB 经过焦点F.
[课后研究题]
在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线)0(22>=p py x 相交于A 、B 两点。

（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； （II ）是否存在垂直于y 轴的直线l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

（07年高考题）。