设：
（D.1）
所以：
按式（D.1）的形式累加起来，最后只需要求一次反正切函 数，这样处理后，计算速度提高一倍以上。
1.2.2 直立“线元”法
某工区物探、勘探工作布置示意图
正演问题的定义： 根据巳知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度 分布，通过理沦计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异 常的数值大小、空间分布和变化规律。 反演问题的定义： （1）由观测上重力异常的分布，在给定物体边界位置函数的条 件下，求解物体的密度分布函数；（物性反演） （2）由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函数的条件下， 求解物体的边界位置的数值；（几何反演） （3）由观测面上重力异常分布。在给定特殊约束（如设物体密 度均匀、形态规则)条件下，求解物体密度参数和几何参数。 给定的函数和特殊约束称为反演问题的定解条件。
什么是正问题与反问题？
反问题：m=G-1d
观测数据d
地质模型 m
正问题：d=Gm
（一）规则形体的正、反演问题
为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀，地 面水平，所取剖面为中心剖面
规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状体……
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
近似于等轴状地质体，如盐丘、矿巢、溶洞等
lim g 0; g max
g max h02 m G 2 ; x1/ 2 0.766h0 ; m h0 G
2、水平圆柱体 2、水平圆柱体（线质量）
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
小柱体元在P(x,0,0)点产生的重力异常为
g G
h0 dy
(x y h )
用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。 用解析式计算每一个线 元在计算点产生的重力异 常作用值。 对所有钱元的作用值依 次进行X方向和Y方向的数 值积分，便得到整个地质 体在计算点所产生的重力 异常值。
1、线元法
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
断层或不同岩层的接触带都可作为台阶处理
x 2 h12 1 x 1 x g G (h x ln 2 2h1tg 2h2tg ) 2 x h2 h1 h2
由公式可见：
当X→∞时， △g =2πG△σ△h 当X→ －∞时， △g =0
球体参数：半径30m，中心埋深20m，剩余密度 2.0g/cm3，重力异常单位mGal
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
x 10
-3
P(x,0,0)
-40 -30 -20 -10
0 -50
h0
0
10
20
30
40
50
σ0
ΔE
Δg
σ
讨论：
x
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方
最后，将所有长方体的重力异
常值累加，以求得整个地质体在 计算点的异常值。
体在计算点所产生的重力异常值。
点元法 “点元”法所取的各个点元的体积可以相同，也可不同。各 个点元的物性可以相同，也可不同。通常是将勘探剖面之间的 地质体用适当的长方体或立方体来近似，确定出各个点元的角 点坐标，即可计算出该点元的三重积分值。 对于一个点元而言，其计算公式如下：
2 2 2 3/ 2 0
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0


2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2．面元法
用一组垂直于z轴的平面
或者垂直于X轴、y轴的平 面切割地质体，地质体与平 面相交形成一系列的裁面。
近似地用一个多边形代
替每一个截面，用解析表达 式计算出计算点的重力作用 值。
将所有面的作用值用数
值积分求得整个地质体产生 的重力异常值。
3．长方体元法
用一组垂直于X轴的平面、一
组垂直于y轴的平面和一组垂直于 Z轴的平面切割地质体，于是地 质体被划分成许多小长方体。
式中：
对所有点元求和：
Fi f ij
k 1
L
i 1,2, M
1、对计算ln项的简化 从式(1.2.1)式的V0，V2，V3．V5的表达式可以看出，需 要计算一系列带ln的项,然后求和，由于大量调用ln标准子 程序会花费很多计算时间并影响计算精度，所以有必要作 适当的简化。 利用： 对L个点元有：
当X=0 时， △g = πG△σ△h
2πG△σ△h πG△σ△h
P(x,0)
o 1 2
h1
●
x
h2
△σ
△h
△σ
△h
3、垂直台阶
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
平面异常特征：
等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附 近等值线最密，称为“重力梯级带”，且异常向 台阶延伸方向单调增大。
当台阶倾斜时：
一、重力正、反问题的解法
任意形体重力异常计算公式：
g G
V
( z ) d d d ( x) ( y ) ( z )
2 2 2 3/ 2
式中：G为万有引力常数，(x, y, z)为观测点P的坐 标，V为地质体体积，Δσ为剩余密度， (ξ,η,ζ)为剩 余质量元 m d d d 的坐标
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题