河北衡水中学2014届高三数学一轮复习学案 主编：吴素利 数列求和（一）
学习目标：数列是高中数学的重要内容之一，是中学数学联系实际的主要渠道之一，数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。
数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中有着十分重要的地方。
因此，数列知识可以命综合性强的试题。
知识梳理
1.等差数列前n 项和S n = .推导： ；
等差数列前n 项和S n =⎧
⎨⎩
推导： 2.常见数列的前n 项和：①1+2+3+4+…+n=
②2+4+6+…+2n= ③1+3+5+…+（2n-1）=
④12+22+32+…+n 2= ⑤2
333(1)1+2+3++2n n +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
3…n 3.（1）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
（2）拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式。
相加过程消去中间项。
只剩有限项再求和。
（3）错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
（4）倒序相加：例如。
等差数列前n 项和公式的推导方法。
4.常见的拆项公式有：
（1）1=(+1)n n —1
1
n + （2）1(21)(21)n n -+=
1
12121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭
（3）
1
(1)(2)
n n n =++ 11
(1)(1)(2)n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦
（4
=
（5）
(1)!n n =+ —1
(1)!
n +；
（6）1
m n
C -= ；
（7）!n n =g ！—!n ； （8）1(2)n n n a S S n -=-≥. 注意：文科不要（5）（6）（7）
【答案】1、11()(1)22
n n a a n n na d +-=+ 倒序相加法 1na
1(1)1n a q q -- 1)
1n a a q q
-- 乘公比，错位相减
2.
(1)2n n + 2n n + 2
n (1)(21)6
n n n ++ 11a q -
4、（1）
1n （2）12（3）12（4）1a b -（5）1!
n （6）1m m n n C C +-（7）(1)n + 题型一、公式法（直接法）
将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列前n 项和公式求得。
例1；已知{}n a 为等差数列，且366,0a a =-=（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++，求{}n b 的通项公式及前n 项和S n 。
练习：（2013重庆）设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N ++==∈。
（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和S n 。
（2）已知{}n b 为等差数列，n T 为前n 项和，且123123,b a b a a a ==++，求20T 。
题型二、裂项相消 如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰好与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项和等于第一项的被减数最末项的减数之差，多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和。
例2：在数列{}n a 中，12+
111
n n
a n n n =+++++…。
又12n n n
b a a +=g 。
求{}n b 前n 项和S n 。
练习1：已知
22212n ++=
…+(1)(21)
6
n n n ++，求
22222222235721()11212312n n N n
*++++∈+++++…+…+的和。
练习2：（2013新课标）已知等差数列{}n a 前n 项和S n 满足350,5S S ==-. （1） 求{}n a 的通项公式;(2)求数列21211
n n a a -+⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
g 的前n 项和。
练习3：数列{}n a
的通项公式n a =
若其前n 项和为10，则项数n
为（ ）
A ．11 B.99 C.120 D.121
练习4：数列{}n a 前n 项和S n ，若()
1
1n a n n =+，则S n 等于（ ）
A. 1
B.56
C. 16
D. 1
30
题型三、分组求和
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分为几个部分来求。
例3：求数列1112,4,6,4816n+11
…，2n+2
…的前n 项和S n 。
练习1：求和n n-111111111+1++1+224242S ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……
练习2：数列1
1111
1,3,5,7
,248162
n ，…,(2n-1)+…的前n 项和S n 。
练习3：数列2
1,12,124,12+2+,++++n-1
…，
…+2…的前n 项和S n 1020>，那
么n 的最小值是（ ） A 。
7 B 。
8 C 。
9 D 。
10
题型四、倒序相加
此方法源于等差数列前n 项和公式的推导。
目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可以提取，以便化简后求和。
例4.求2222
2
222222212310+1102938101
++++++…+的和。
练习：设(f x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(12)(11)(10)+(0)++(0)++(11)+(12)+(13)f f f f f f f f -+-+-+………的值为（ ）
B. C.
题型五、并项求和
例5. 已知数列{}n a ，()21n
n a n ⎡⎤=---⎣⎦
，求10S 。
若求99S 呢？
练习：2
2221
2-3+4-+-…22-99+100。