§8-5 标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一．齿轮传动承载能力计算依据轮辐、轮缘、轮毂等设计时，由经验公式确定尺寸。

若设计新齿，可参《工程手册》20、22篇，用有限元法进行设计。

轮齿的强度计算：1．齿根弯曲强度计算：应用材料力学弯曲强度公式WMb =σ进行计算。

数学模型：将轮齿看成悬臂梁，对齿根进行计算，针对齿根折断失效。

险截面上，γcos ca p --产生剪应力τ，γsin ca p 产生压应力σc ，γcos .h p M ca =产生弯曲应力σF 。

分析表明，σF 起主要作用，若只用σF 计算齿根弯曲疲劳强度，误差很小（<5%），在工程计算允许范围内，所以危险剖面上只考虑σF 。

单位齿宽（b=1）时齿根危险截面的理论弯曲应力为220cos .66*1cos .S h p S h p W M ca ca F γγσ===令αcos ,,b KF L KF p m K S m K h tn ca S h ====，代入上式，得()αγαγσcos cos 6.cos cos ..6220S h t S h t F K K bm KF m K b m K KF ==令 αγc o sc o s 62S h Fa K K Y =Fa Y --齿形系数，表示齿轮齿形对σF 的影响。

Fa Y 的大小只与轮齿形状有关（z 、h *a 、c *、α）而与模数无关，其值查表10-5。

齿根危险截面理论弯曲应力为 bmY KF Fat F =0σ 实际计算时，应计入载荷系数及齿根危险剖面处的齿根过渡曲线引起的应力集中的影响。

bmY Y KF SaFa t F =σ式中：Sa Y --考虑齿根过渡曲线引起的应力集中系数，其影响因素同Fa Y ，其值可查表10-5。

2．齿根弯曲疲劳强度计算校核公式 []F Fa Sa Sa Fa t F Y Y bmd KT bm Y Y KF σσ≤==112 MPa令1d bd =φ，d φ--齿宽系数。

将111,mz d d b d ==φ代入上式 设计公式 [])(.23211mm Y Y z KT m FSaFa d σφ≥往往齿根面先发生点蚀，然后才扩展到齿顶面，即齿顶面比齿根面具有较高的接触疲劳强度。

因此，虽然此时接触应力大，但对大齿轮不一定会构成威胁。

由右图可看出，大齿轮在节点处的接触应力较大，同时，大齿轮单对齿啮合的最低点（D 点）处接触应力也较大。

按理应分别对小齿轮和大齿轮节点与单对齿啮合的最低点处进行接触强度计算。

但按单对齿啮合的最低点计算接触应力比较麻烦，并且当小齿轮齿数z 1≥20时，按单对齿啮合的最低点计算所得的接触应力与按节点啮合计算得的接触应力极为相近。

为了计算方便，通常以节点啮合为代表进行齿面的接触强度计算。

2）齿面接触应力计算二齿轮在节点处啮合，曲率半径为αραρsin 2sin 2222111d P N d P N ====P 点的当量曲率为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=±=±=∑121122112211111ρρρρρρρρρρρρ 齿数比 小大z z u =与关系为：增速传动 iu 1=减速传动 i u =uu d u u u z z d d 1.sin 21.1111121212±=±=∴===∑αρρρρ节点处只有一对齿啮合，b L =将以上二式代入赫兹公式并考虑载荷系数uu bd KT E E u u d b KF E E uu d b KF E E t n H 1.2.cos .sin 2.1111.sin 2.cos .1111.sin 2..11121122212112221211222121±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=±⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=±⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ααμμπααμμπαμμπσ令⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=222121111E E z E μμπ，ααcos .sin 2=H zuu bd KT z z HE H 1.2211±=σ MPa 式中：E z --弹性系数，仅与齿轮材料特性有关，其值查表10-6。

H z --节点区域系数，考虑节点位置的齿廓曲率半径等因素对接触应力的影响，标准直齿轮020=α时，H z =2.5。

+--外啮合；—--内啮合。

2．齿面接触疲劳强度计算 校核公式[]H HE H uu bd KT z z σσ≤±=1.2211 MPa 将1d b d φ=代入上式设计公式 []32111..2u u z z KT d H HE d ±⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥σφ mm 由上式可知：在一定的使用条件和寿命下，当b 、u 、齿轮材料及其热处理规范一定时，齿轮传动的接触疲劳强度取决于d 1(中心距a)。

配对齿轮的21H H σσ=，但[]1H σ不一定等于[]2H σ，所以设计或校核时，应以[]1H σ、[]2H σ中较小者代入上式。

一对标准钢制齿轮[]H EH uu bd KT z σσ≤±=1.25.2211 MPa []32111..32.2u u z KT d H Ed ±⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥σφ mm 六．齿轮传动的强度计算说明1． 当配对齿轮均为硬齿面时，两轮的材料、热处理方法及硬度均可取成一样的。

设计时，可分别按齿根弯曲疲劳强度及齿面接触疲劳强度的设计公式进行计算，并取其中较大者作为设计结果。

2． 当用设计公式初步计算齿轮的分度圆直径d 1（或模数m n ）时，动载系数K v 、齿间载荷分布系数K α及齿向载荷分布系数K β不能预先确定，此时可试选一载荷系数K t ，则计算出来的分度圆直径（或模数）也是一个试算值d 1t （或m nt ），然后按d 1t 值计算齿轮的圆周速度，查取动载系数K v 、齿间载荷分布系数K α及齿向载荷分布系数K β，计算载荷系数K 。

若算得的K 值与试选的值K t 相差不多，就不必修改原计算；若二者相差较大时，应按下式校正 试算所得的分度圆直径d 1t （或m nt ）：3311//tnt n t t K K m m K K d d ==§8-6 齿轮传动的设计参数、许用应力与精度选择一．齿轮传动设计参数的选择1．压力角α由《机械原理》可知，增大压力角α，轮齿的齿厚及节点处的齿廓曲率半径亦随之增加，有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。

我国对一般用途的齿轮传动规定的标准压力角α=200。

为增强航空齿轮用齿轮传动的弯曲强度及接触强度，规定α=250的标准压力角。

对重合度接近2的高速齿轮传动，推荐采用齿顶高系数为1~1.2，压力角为160~180的齿轮，可增加轮齿的柔性，降低和动载荷。

2．小齿轮齿数z 1若齿轮传动的中心距不变，增加齿数z 1---增大重合度、改善传动平稳性---减小模数、降低齿高---减少金属切削量，节省制造费用。

降低齿高---减小滑动速度---减少磨损及减小胶合的可能性。

但模数小---齿厚减薄---降低轮齿的弯曲强度。

对闭式齿轮传动，传动尺寸主要取决于齿面接触疲劳强度，齿根弯曲疲劳强度较充裕，此时，在保持齿轮传动尺寸不变的前提下，为提高传动的平稳性，减小冲击振动，齿数多一些，z 1=20~40。

开式（半开式）齿轮传动，由于轮齿主要为磨损失效，为使轮齿不致过小，齿数取少一些，z 1=17~20。

3．模数m模数值必须取标准系列值。

模数m 越大---轮齿尺寸越大---在齿宽b 、齿数z 相同的条件下---轮齿弯曲疲劳强度越高。

但模数m 越小---中心距不变的条件下，齿数z 越多---重合度越大---传动越平稳；且模数m 越小---齿高越小m h h a a *=---齿顶圆越小---节省材料---切齿时切去的金属量少---提高效率。

所以，在满足齿根弯曲疲劳强度的条件下，模数m 取小一些。

4．齿宽系数φd轮齿越宽---承载能力越高---轮齿不宜过窄；但轮齿越宽---齿面上载荷分布更不均匀—轮齿不宜过宽。

φd 荐用值见表10-7。

对于标准圆柱齿轮减速器，()u d b a b a +==15.01φ，对外啮合齿轮传动()a d u d bφφ+==15.01φa 的值规定为0.2，0.25，0.30，0.40，0.50，0.60，0.80，1.0，1.2。

运用设计公式时，对标准减速器，先选定φa 后再计算出相应的φd 值。

计算齿宽1d b d ϕ=，圆整。

为防止两齿轮因装配后轴向稍有错位而导致啮合齿宽减小，常把小齿轮的齿宽在计算齿宽的基础上人为加宽约5~10mm 。

二．齿轮传动的许用应力本书荐用的齿轮疲劳极限是用m=3~5mm ，α=200，b=10~50mm ，v=10m/s ，齿面粗糙的度为0.8的直齿付试件，失效概率为1%，经持久疲劳实验确定。

一般齿轮传动，因绝对尺寸、表面粗糙度、速度及润滑对实际齿轮疲劳极限影响不大，不预考虑，只考虑N 对疲劳极限的影响。

[]SK N limσσ=式中：S---疲劳强度安全系数。

对接触疲劳强度计算，点蚀破坏发生后，只引起、振动，不立即导致不能继续工作的后果，所以1=H S 。

若一旦发生断齿，会发生严重事故，所以5.1~25.1=F S 。

K N ---寿命系数。

K FN ---图10-18；K HN ---图10-19。

h njL N 60=式中：n---齿轮转速，rpm ；j---每转一圈，同侧齿面的啮合次数。

h L ---工作寿命，h 。

lim σ---齿轮疲劳极限。

弯曲：ST F FE FE Y .,lim lim σσσσ==（ST Y ---实验齿轮应力校正系数），图10-20；点蚀：lim lim H σσ=，图10-21。

lim σ---取中间偏下值，即在MQ 及ML 中间选值。

若齿面硬度超出图中荐用范围，可大体按外插法查相应的FE σ、lim H σ。

图10-20为脉动循环的FE σ，对称循环的极限应力值仅为脉动循环应力的70%。

三．齿轮精度的选择各类机器所用齿轮传动的精度等级范围参表10-8，按载荷及速度推荐的齿轮传动精度等级如图10-22。

四．直齿圆柱齿轮传动的设计 1．齿轮传动的基本要求 （1）传动准确、平稳；（2）在尺寸小、重量轻的前提下，承载能力高。

2．已知条件（1）齿轮传动的工作条件，P 、n 、i ；原动机、工作机的工作特性等；（2）结构要求；（3）工艺条件；（4）使用要求；（5）环境条件。

3．承载能力计算---根据计算准则 闭式软齿面齿轮传动：（1）应用齿面接触疲劳强度设计公式求d1；（2）由参数选择原则及几何关系确定z、m及其它；（3）校核齿根弯曲疲劳强度。

闭式硬齿面齿轮传动及开式齿轮传动（1）应用齿根弯曲疲劳强度设计公式求m，开式传动将求得的m增大10~20%，以补偿磨损对轮齿的削弱；（2）由参数选择原则及几何关系确定z、d1及其它；（3）校核齿面接触疲劳强度（开式不需）。