《定积分的应用》复习题
一．填空：
1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =
ln ln b
y a
e dy ⎰
=b-a______
2.
2
y x y ==曲线和 ____1
3
____
二．计算题：
1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组
2222
y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（
2
1
，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－
21y ）-2
1
y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－
21y)- 2
1
y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =
⎰
-1
2
[（1-
21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]1
2-= 94
2．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,
'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 3
2
，3 ）。

故 面积A =
33
2
2230
2
9[(43)(43)][(26)(43)]4
x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=
⎰
⎰
3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与
横轴所围成的图形的面积。

解：220
()(1cos )(1cos )a
A y x dx a t a t dt
ππ
=
=-⋅-⎰
⎰
22
20
1cos2(12cos )32
t
a
t dt a π
π+=-+=⎰
4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos θ 及 r = 1 + cos θ
解：两曲线的交点由3cos 33,1cos 3322r r r r ππθθθ
θ
⎧⎧==-⎪⎪=⎧⎪⎪⎨
⎨⎨=+⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩
解得及
故 A = 2232
03112(1cos )(3cos )2
2d d ππ
πθθθθ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ = 32
031cos 295(12cos )(1cos 2)224
d d ππ
πθπθθθθ⎡⎤+++++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
5．计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（02t
π≤≤），
直线y = 0 所围成的图形分别绕X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。

解： 222
220
()(1cos )(1cos )a
x
V y x dx a t a t dt
ππ
ππ==-⋅-⎰
⎰
23
23230
(13cos 3cos cos )5a
t t t dt a πππ=-+-=⎰
222
22
10
()()a
a
y V x y dy x y dy ππ=-⎰⎰
=
22
2220
(sin )sin (sin )sin a t t a tdt a t t a tdt π
π
π
ππ-⋅--⋅⎰⎰
23
2330
(sin )sin 6a
t t tdt a π
ππ=--=⎰
6．求由x 2 + y 2 = 2和y = x 2所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积。

解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：
{2222
x y y x ==+ ， 得圆与抛物线的两个交点为
{11==y x ，{11
=-=y x ，所以积分区间为 [-1，1]。

（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x, x+dx]，与它对应的薄片体积近似于
[π（2 - x 2）- πx 4] dx ,从而得到体积元素
dV = π[（2 - x 2）- x 4]dx = π（2 - x 2- x 4
）dx. （3）故x V = π⎰
-11
（2 - x 2- x 4
）dx = 15
44
π
7．求圆盘2
2(2)
1x y -+≤绕Y 轴旋转而成的旋转体的体积。

解 设旋转体积为V ，则
3
12*2V
x π=⎰
222
222
222
22
2sin (2sin )cos (1cos 2)sin cos 1
(sin 2)|42x t t t dt
t dt t tdt t t π
πππ
πππ
πππππ-----=+⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭=+=⎰⎰⎰令则
V=444
8．设有抛物线C ：y = a – bx 2 ( a > 0 , b > 0 )，试确定常数a , b 的值，使得C 与直线y = x + 1 相切，且C 与X 轴所围图形绕Y 轴旋转所得旋转体的体积达到最大。

解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1相切， 故有 K = - 2bx = 1 , 得
12x b
=-
由
2
11122a b b b ⎛⎫
--=-+ ⎪⎝⎭
解得 114a b +
= ，即：14(1)b a =- 由 2
2
200()2(1)2a
a
a y a V a x dy dy a a
b b
ππππ-====-⎰⎰
令 '()2(23)0V a a a π=-= 得 23
,34
a b =
=
9．设星形线方程为33
cos sin x a t
y a t
⎧=⎨=⎩（ a > 0），求： （1）由星形线所围图形的面积 （2）星形线的长度。

解：（1）由对称性得 A 0
320
2
4()4sin 3cos (sin )a y x dx a t a t t dt
π==⋅-⎰⎰
2422
20
312sin cos 8a t tdt a π
π==
⎰
（2）
L = 4dt
=
4dt
= 20
12sin cos 6a t t dt a π
=⎰
10．计算曲线1
1
cos sin ,t
t
x d y d θ
θ
θθ
θ
θ
==⎰
⎰
自原点到与具有铅直的切线
最近点的弧长。

解：
sin tan cos dy t
dy dt t t dx t
dx dt t
===
曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为2
t π
=
，原点对应的
参数 t = 1 。

故
s =
21ln |ln 2dt dt t π
π===
11．设S 1为曲线y = x 2 、直线y = t 2 （t 为参数）及Y 轴所围图形的面积；S 2
为曲线y = x 2 、直线y = t 2 及x = 1所围图形的面积。

问 t 为何值时，S = S 1+S 2取得最大值、最小值。

解：1
2
2
22
32041()()()33
t
t
S t t x dx x t dx t t =
-+-=-+⎰⎰ 令 2
121
'()420,0,2S t t t t t =-===
解得
于是 1112(0),(),(1)3243
S S S ===
故 S max = S(1) =
2
3
, S min = 11()24S =
三．证明题：
1.证明：曲线 y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x 2+ y 2 = 2的周长。

证明：y = sinx 的一个周期的弧长
L 1
=
44dx dx =
椭圆 2x 2+ y 2 = 2 即
：
2
2
1)
x +=化为参数方程
为
c o s
(02)s i n x t t y t
π=⎧⎪≤≤⎨
=⎪⎩
其弧长为L2 =
==
dt dt dt 444
故L1 = L2。