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定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用题一 题面:求由曲线2(2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323.变式训练一题面:函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2-2≤x <0,2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )B .2 |C .3D .4答案:D.详解:画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π202cos x d x =2+2sin x |π20=4.变式训练二 题面:由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( )¥A .2 3B .9-23答案: 详解:注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为⎠⎛-31(3-x 2-2x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -13x 3-x 2⎪⎪⎪1-3=3×1-13×13-12-⎣⎢⎡3×-3-13×-33]--32=323,选D.题二 ^题面:如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ).A .1B .1C .1D .17变式训练一题面:函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为________.:答案:π4. 详解:设A (x 0,0),则ωx 0+φ=π2,∴x 0=π2ω-φω. 又y =ωcos(ωx +φ)的周期为2πω, ∴|AC |=πω,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω-φω+πω,0.依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S =-∫π2ω-φω+πωπ2ω-φωωcos(ωx +φ)d x =2. ∵|AC |=πω,|y B |=ω,∴S △ABC =π2. ∴满足条件的概率为π4.。

变式训练二 题面:(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A .B .·C .D .答案:C. 详解:根据题意,正方形OABC 的面积为1×1=1, 而阴影部分由函数y=x 与y=围成,其面积为∫01(﹣x )dx=(﹣)|01=,则正方形OABC 中任取一点P ,点P 取自阴影部分的概率为=; 故选C .【金题精讲 题一 题面:(识图求积分,二星)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( ).A .2π5B .43C .32D .π2答案:变式训练一…题面:如图求由两条曲线y =-x 2,y =-14x 2及直线y =-1所围成的图形的面积.答案:43. 详解:由⎩⎨⎧y =-x 2,y =-1,得交点 A (-1,-1),B (1,-1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =-14x 2,y =-1,得交点C (-2,-1),D (2,-1). ∴所求面积S =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+x 2d x +⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+1d x =43. 》变式训练二 题面:例1求在[0,2]π上,由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案:4. 详解:作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π,所 求积2200sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x ππππππ=+=---=⎰⎰题二 题面:(作图求积分,四星)求曲线36y x x =-与曲线2y x =所围成的图形的面积.#x y-Л2Л交点的横坐标分别为2,0,3-,12112S =.变式训练一题面:求曲线2y x =,y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案:76. 详解:作出2y x =,y x =及2y x =的图如右解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩ 00x y =⎧⎨=⎩ 解方程组2y x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩ 00x y =⎧⎨=⎩∴所求面积12201(2)(2)s x x dx x x dx =-+-⎰⎰12201(2)xdx x x dx =+-⎰⎰212320111|()|23x x x =+- 76=答:此平面图形的面积为76变式训练二 题面:%求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.答案:403. 详解:作出28(0)y x y =>及6x y +=的图形如右:y解方程组2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩解方程组600x y y +-=⎧⎨=⎩ 得60x y =⎧⎨=⎩∴所求图形的面积26028(6)s xdx x dx =+-⎰⎰322620221402|(6)|323x x x ⋅+-= 题三 题面: (1)由曲线y x =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______.(2)由曲线2y x =与直线2y x =-所围成的封闭图形的面积为_______.·答案:(1)163;(2)92.变式训练一题面: 设f (x )=,函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为( )A .B .】C .D .答案:C.详解:根据题意作出函数的图象:xO2(66根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=故选C…变式训练二 题面:已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为( ) A . 1/2 B .1 C . ]2D .3/2 答案:D. 详解:由题意图象与x 轴所围成图形的面积为102(1)cos x dx xdx π--++⎰⎰210021()|sin |2x x x π-=-++ 112=+ 32=.故选D .题四 题面:(导数与积分结合,二星)设函数()mf x x ax =+的导函数为()21f x x '=+,则21()f x dx -⎰的值等于______.答案:56.变式训练一题面:"设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则⎠⎛12f (-x )d x 的值等于( )答案:A. 详解:由于f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,所以f (x )=x 2+x ,于是∫21f (-x )d x=∫21(x 2-x )d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-12x 2⎪⎪⎪21=56.变式训练二 题面: )设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则⎠⎛12f (-x )d x 的值等于( )答案:A. 详解:由于f (x )=x m +ax 的导函数为f ′(x )=2x +1,所以f (x )=x 2+x ,于是⎠⎛12f (-x )d x =⎠⎛12 (x 2-x )d x =⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-12x 221=56. 题五 题面: …(化简后求积分,四星)(1)求21sin 2xdx π-20sin cos x x dxπ=-⎰原式4204(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰22 2.=(2)440(sin cos )22x xdx π+⎰变式训练一题面:与定积分∫3π01-cos x d x 相等的是( ) ∫3π0sinx2d x∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x x2d x )))D .以上结论都不对[答案:B. 详解:∵1-cos x =2sin 2x 2,∴∫3π01-cos x d x =∫3π02 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x =2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinx 2d x .变式训练二 题面: 40cos xdx π=⎰________. 答案:22. 《详解: 因为40cos xdx π=⎰sin x ⎪⎪⎪ π40=sin π4=22,所以∫π40cos x d x =22.题六题面: (定积分的运用,三星)函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.(1)若φ=π6,点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,332,则ω=________; (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为________.[解析] (1)函数f (x )=sin(ωx +φ)求导得,f ′(x )=ωcos(ωx +φ),把φ=π6和点⎝⎛⎭⎪⎫0,332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0+π6=332解得ω=3. … (2)取特殊情况,在(1)的条件下,导函数f ′(x )=3cos ⎝⎛⎭⎫3x +π6,求得A ⎝⎛⎭⎫π9,0, B ⎝⎛⎭⎫5π18,-3,C ⎝⎛⎭⎫4π9,0,故△ABC 的面积为S △ABC =12×3π9×3=π2,曲线段与x 轴所围成的区域的面积S =-⎪⎪f x 4π9π9=-sin ⎝⎛⎭⎫4π3+π6+sin ⎝⎛⎭⎫3π9+π6=2,所以该点在△ABC 内的概率为P =S △ABC S =π4.同类题一题面:设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x -2.(1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.答案:(1) f (x )=x 2-2x +1.… (2) 13. 详解:(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f ′(x )=2ax +b .又f ′(x )=2x -2,所以a =1,b =-2,即f (x )=x 2-2x +c .又方程f (x )=0有两个相等实根,所以Δ=4-4c =0,即c =1.故f (x )=x 2-2x +1.(2)依题意,所求面积为S =⎠⎛01(x 2-2x +1)d x =(13x 3-x 2+x )|10=13. 。

同类题二题面:设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根,且f ′(x )=2x +2.(1)求y =f (x )的表达式;(2)求y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2)若直线x =-t (0<t <1=把y =f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.答案:¥(1)f (x )=x 2+2x +1.(2)13. (3)t =1-321. 详解: (1)设f (x )=ax 2+bx +c ,则f ′(x )=2ax +b ,又已知f ′(x )=2x +2∴a =1,b =2. ∴f (x )=x 2+2x +c又方程f (x )=0有两个相等实根,∴判别式Δ=4-4c =0,即c =1.[故f (x )=x 2+2x +1.(2)依题意,有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . (3)依题意,有x x x x x x t t d )12(d )12(2021++=++⎰⎰---, ∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++,-31t 3+t 2-t +31=31t 3-t 2+t ,2t 3-6t 2+6t -1=0,∴2(t -1)3=-1,于是t =1-321.思维拓展题一题面:(几何法求积分,四星)(1)计算0⎰,121sin x xdx -⎰;(2)求椭圆22221x y a b +=的面积.0044b S a ==⎰⎰,转化为圆的面积.同类题一题面:求定积分11dx -⎰的值. 答案:2π. 详解:11dx -⎰表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积. 因为2S π=半圆,又在x 轴上方.所以11dx -⎰=2π.同类题二题面:20)ax dx -⎰的值是( ) A. 143π- B. 143π+ C. 123π- D. 12π- 答案:A.详解:积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积,故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1围成的图形的面积之差.即20)ax dx-⎰ 1231001|443x dx x ππ=-=-⎰ 143π=-. 故答案选A。

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