( jS)2 l
S
j2 V (E)2 V
E2V
热功率密度：单位体积内的热功率
p热
lim
V 0
P热 V
pp热EE22
j2
—— 焦耳定律的微分形式
[例] 巧克力碎屑的秘密Ⅳ 巧克力碎屑粉末以均匀的速率 v = 2.0 m/s 和均匀
的电荷密度 re = 1.1103 C/m3 通过半径为 R = 5.0
单位：瓦
如一段电路只包含电阻，电场所做的功全部转化为热
Q A UIt Q I 2Rt U 2 t 焦耳定律
U IR
R
热功率 ：单位时间内电流通过导体时产生的热量
P热
Q t
I2R
U2 R
热功率：单位时间内电流通过导体时产生的热量
PP热热
QQ t
II22RRUU2 2 RR
IU
l S j E
E1 j1
tan1
E2 j2
tan2
设两种导体的电导率分别为 1、2，则按欧姆定律
的微分形式，有
j1 1E1
j2 2E2
于是
tan1 tan2 ， 或 tan1 1
1
2
tan2 2
4. 电功率 焦耳定律
A qU UIt
(q It)
电功率 ：电场在单位时间内所做的功
P A UI t
(2) E 切向分量连续， 法向分量不连续。
导体2 eˆn
界面
2
2
导体1
1
1
电流线、电场线在边界上的“折射”
电流线、电场线与界面法线的夹角分别为 θ1、θ2
j1n j1 cos1，
j2n j2 cos2
E1t E1 sin1，
E2t E2 sin2
按照边界条件 j1n j2n
E1t E2t
金属自由电子气体模型假定
• 除了电子与晶格碰撞一瞬间以外，忽略电子与晶格之间的 相互作用，即“自由电子近似”；
• 忽略电子与电子之间的相互作用，即所谓的“独立电子近 似”；
• 电子与离子实的碰撞是随机的瞬间事件，碰撞会突然改变 电子速度(包括大小和方向)，在相继两次碰撞间，电子做 直线运动，遵从牛顿定律；同时碰撞还会使电子达到热平 衡，碰撞后的电子速度方向是随机的；
两式相除得 E1t E2t j1n j2n
E1 j1
tan1
E2 j2
tan2
导体2 eˆn
j1n j1 cos1， j2n j2 cos2 界面
2
2
E1t E1 sin1，E2t E2 sin2 导体1 1
1
按照边界条件 j1n j2n
E1t E2t
两式相除得
E1t E2t j1n j2n
解： (1) I reSv re pR2v
1.73 105 A (2) P IU
(1.73 105 A)(7.76 104 V)
1.34 W (3) W Pt (1.34 W)(0.20 s) 0.268 J > 150 mJ
(4) 粉末爆炸可能发生在管道进入贮仓的出口处。
5. 金属导电的经典微观解释
cm 的管道运动到贮仓。(1) 求出通过管道垂直横截 面的电流 i (粉末上的电荷移动的时率)。(2) 当粉末 从管道流进贮仓时，粉末的电势改变了。那个改变
的大小至少等于管道内的径向电势差(如前所估算的 7.76104 V)。在假定的那个电势差值的情况下，利 用上面中得到的电流，求当粉末离开管道时能量从 粉末转移到火花的转移率。(3) 如果火花确实发生在 出口处且持续 2.0 s (合理的期望值)，则多少能量已 被转移成火花？(4) 回想在前面曾提到，要引起爆 炸需要至少转移 150 mJ 的能量。粉末爆炸可能发生 在哪里：在卸料箱的粉末云中(前面所考虑的)；在 管道内，还是在管道进入贮仓的出口处？
有规则的定向运动 —— u
• 而电子与晶格碰撞又不断破坏定向运动 —— v
推导：
质量为 m，所带电荷为 –e 自由电子 受恒定电场作用而获得定向加速度
近似：
a F eE
mm假定电子与晶格点阵Fra bibliotek要碰撞一次，它所获得的定向 速度就消失，接着又重新开始做定向初速度为零的加
速运动 —— 自由程
设电子在两次碰撞之间的平均飞行时间为 ，则在第
金属的自由电子气模型
孤立原子中的电子
W(r) + e- r
大量原子构成的晶体中
电子的势能为周期性
W(x) + e- +
忽场
略的
+
x
周影 期响
性
势 晶体中的电子特别是外层电子
自由电子气
金属自由电子气体模型
• 晶格(离子实)变化可以忽略 • 价电子，可以脱出成为独立、自由的电子 1900年特鲁德(Paul Drude)提出 有关金属的第一个理论模型
[例] 巧克力碎屑的秘密 Ⅳ 已知：v 2.0 m/s，re 1.1103 C/m3，R 5.0 cm。
(1) 求管道电流 I。(2) 管道内的径向电势差为 7.76 104 V， 求当粉末离开管道时能量从粉末转移到火花的转移率。
(3) 若火花发生在出口处且持续 0.2 s，则多少能量已被转移 成火花？ (4) 要引起爆炸需要至少转移 150 mJ 的能量。粉 末爆炸可能发生在哪里：在卸料箱的粉末云中；在管道内； 还是在管道进入贮仓的出口处？
• 金属中自由电子的运动和单原子的理想气体非常相似。
E
• 金属中自由电子做无规则热运动， • 其平均速率为 v ~ 105 m/s， • 电子在各个方向运动的机会均等， • 因此无规热运动速度的矢量和为零。 • 电场中自由电子的运动相当复杂：
– 固有的不规则运动外 – 因电场的作用，将获得与场强方向相反的加速度，并做
导体1
j1
j dS j dS j dS j dS
(底1)
(底2)
(侧)
dS 0
j1ndS
j2ndS
根据电流的稳恒条件 j dS ( j2n j1n )S 0
于是 j2n j1n
在边界面两侧电流密度的法向分量是连续的。
(1) j、D 法向分量连续， 切向分量不连续；
二次碰撞之前，电子所获得的定向速度为
u1
a
e
E
m
u
12(u0
u1 )
e 2m
第三章 稳恒电流 (Steady current)
电流密度和电流强度的关系
j
dI
，
dI j dS
dS
电流的连续方程 电流的稳恒条件 欧姆定律的微分形式
S
j
dS
dqint dt
S
j
dS
0
j E
导体界面上的两个边界条件
(1) j 的法向分量的连续性
导体2 界面
eˆn
S
j2
通过闭合面的电流 为