16
❖ 出射角和入射角：
m
出 （所有开环零点到该极点的矢量幅角） i 1
kg 2)[( s
3)2
16 ]
，画根轨迹。
[解] ：①标出四个开环极点：0，-2， 3 j4。有四条根轨迹。
②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
③渐进线倾角： (2k 1) , 3 ,与实轴的交点为：
nm
44
p j zi 0 2 6 2
nm
4
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R(s) G(s)
+
H (s)
C(s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s) 闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
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相应的跟轨迹方程为：Gk (s) 1 幅值条件和相角条件为：
Gk (s) 1, Gk (s) 2k , (k 0,1,2,...) 与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件
6
⑦绘制根轨迹，如下图所示。
5
4
141.9
3
2
j2.5
Imag Axis
1
0.9
0
-1
-2
j2.5
-3
-4
-5
-4
-3Leabharlann -2-10
1
2
Real Axis
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特殊情况：对于开环传递函数 Gk (s)有零极点相对消的情况。
如：G(s)
kg
R(s)
, H (s) s 1
第四节 控制系统根轨迹的绘制
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：
标注开环极点“ ”和零点○“ ”；
确定实轴上的根迹区间；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分
别为：
pj
zi
利用前几步得到的信息分绘离制角根轨d 迹n。
注意：
后两步可能不存在；
在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
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一、 单回路负反馈系统的根轨迹
前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反
馈系统的。
[例]开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
4
④-3+4j处的出射角1 ： 1 (1 2 3)
1
j4
( tg 1 4 tg 14 90 ) 141 .9
3
2
根据对称性，可知-3-j4处的出射
角 2 为：
2 141 .9
3 2
⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： s4 8s3 37s2 50s kg 0 劳斯阵为：
s
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2.0
k 8.58 14.57 18.28 20.01 20.0 18.47 15.59 11.49 6.28 gd
可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。
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(s 1)(s 2)
-
G(s)
C(s)
则：Gk (s)
G(s)H (s)
kg ，引起特
s2
H (s)
征方程阶数的下降。处理方法见下图：
R(s) 1 H (s)
G(s)H (s)
-
C(s) (s) 1 Gk (s) H (s) 1 Gk (s)
式中：Gk (s) G(s)H (s)
1 '(s) H (s)
以开环传递函数Gk 系统 (s)的极点由
(s)
'
绘制根轨迹可得 ' (s)的极点。闭环 (s)和 1 组合而成。
H (s)
由零极点相对消减少的极点由 1 的极点来补充。见下页图。
H (s)
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Gk
(s)
kg (s 1) (s 1)(s 2)
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不同。负反馈系统的相角条件(2k 1) 是180度等相角条 件；而正反馈系统的相角条件 2k 是0度等相角条件。
注意：
负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹；
正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹或补根轨迹。
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绘制0度根轨迹的基本准则：
❖ 对称性和连续性同常规根轨迹；
2021
0
0
即为根轨迹与虚轴的交点。
5
⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d
2
由 N ' (s)D(s) N (s)D' (s) 0 得：4s3 24s2 74s 50 0
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法：
kg (s4 8s3 37s2 50s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g最大时为分离点。
❖ 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；
❖ 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同， 为： 2k , k 0,1,2... ，有n-m个角度。
nm
❖ 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶 数（包括0）的区域。 ❖分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；
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;
(2k
1)
,k
0,1,2,3...
nm
nm
计算极点处的出射角和零点处入射角：
出射角 （从其他极点到该极点的矢量幅角）
（从其他零点到该极点的矢量幅角）
入射角 （从各个极点到该零点的矢量幅角）
（从其他零点到该零点的矢量幅角）
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2
计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点：由N'(s)D(s)- N(s)D'(s) 0求解
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二、 多回路系统的根轨迹
简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制 180度根轨迹或参量根轨迹。
三、 正反馈系统的根轨迹
以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。 在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系 统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所 示系统：
3
1
0 j4
s4
1
37 kg 当劳斯阵某一行全为零时，有共
s3
8
50 0 轭虚根。这时，kg 192 .2 。
s2 30.75
kg 0 辅助方程为：30.75s2 192.2 0 ，
s1 1537.5 8kg 0 0 解得共轭虚根为：s1,2 j2.5
30.75
s0
Saturday,
Marckhg20,