零度根轨迹（3）
K K * 27 v0
(2) 绘制 0º 根轨迹 ① 实轴轨迹：[-∞,-3], [-1，＋∞] ② 出射角： 3 180 2k

③ 分离点：
3 1 d 3 d 1
( 2k 1) 60, 180 3
整理得： 3d 3 d 3
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和

i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
பைடு நூலகம்
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
§4.3.2
K * ( s 1) 解. G ( s ) ( s 3) 3
d 0
d 0
K d3
* d
3
d 1 27
④ 渐近线：
a (3 3 1) 2 4 a 2k 2 0, 180
课程小结
§4.3 广义根轨迹
§4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制180º根轨迹不同的3条法则
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1