规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值 利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。 在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：
1 Kr ( s 5) s ( s 1)( s 2)
1 3 6 2K r 3 5K r
0,
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
同理可证明入射角。
例4-2-3
设系统开环零极点图如图4-7。p
0 0
j
3
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
其中 ( p3 z1 ) 85 , ( p3 p1 ) 135
( p3 p2 ) 45 , ( p3 p4 ) 90
0 0
×●
P3
P2 × ●
n m j j 1 i 1
i
nm
对例4-2-2，渐近线与实轴夹角为：

l 180 n m


180 l 2

( l 1,3,) 90 , 90 ( 270 )
0
0 0
交点坐标为：
1 2 ( 5 ) 2
1 , 即（1，j0）。
j
●
× × ×
﹣2 ﹣1
P3
s0 点为从 p3 出发的根轨迹上一点。
z ( p1 p 2 p 3 p 4 ) 180 l
0
j
×●
z
P3
P1
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
P2
×●
Z1
×
01 P
P2

P2 × ●
p2
z
P4
P1
×
p1
z1

×

出 180 l ( p3 z1 )
p4
[ ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )]
180 ( p3 z1 ) [ ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )]
p2
z
P4
P1
×
p1
z1

根据公式：
m n
×
p4
出x 180 ( p x zi ) ( p x p j )
i 1 j 1 jx
图4-7
出 180 85 135 45 90 5
0 0 0 0 0

考虑到根轨迹的对称性
出射角ψp3= -5°，ψp4= 5°
3 2
2
× × ×
﹣2 ﹣1
0
﹣5
0
1

2 s 18 s 30 s 10 0
解出：
s1 0.447, s2 1.61, s3 6.94
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐 0 180 0 标为（-0.447,j0）处。 求出重根角为: 90
nm
P4
●
当s0一点点趋近p3时，可认为 p 3 为 p 处的出射角 出 。 3
×
P4
l 而ψp1、ψp2、ψp4、ψz都分别趋近于各开环零
极点相对于P3点的向量的相角。
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
p3
j
×●
P3
此时，出射角 出可以计算：
Kr
s p
j 1 m
j
sz
i 1
i
0.084
规则八、根轨迹的出射角：
在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：
m n
出x 180 ( p x z i ) ( p x p j )
i 1 j 1 j x
在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：
G( s) H ( s) K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
一条始于开环极点，止于开环零点，
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
j
●
×
﹣2
×
﹣1
×
0
﹣5

规则五、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为：

l 180
0
nm
n
l 1,3,5..
m j
征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的
闭环特征方程1 G( s ) H ( s ) 1
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
0
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则二、根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始 于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起始于Kr=0处，终止于Kr=∞处。 观察幅值条件：
对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止 但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。
根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的， *规则三、 且对称于实轴。
证明：（1）连续性 系统开环根轨迹增益 Kr (实变量）与复变量s有一一
对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系 统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的， 因此，根轨迹是n条连续的曲线。 证明：（2）对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征 方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此, 根轨迹总是对称于实轴的。
规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根 轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和 为奇数。
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 p3和 z1之间的线段是否存 在根轨迹，取实验点 s
0
j
×
p4
1
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。
●
●
﹣5 sபைடு நூலகம் ﹣2 ﹣1
× × ×
0
2

处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均 为零， 相角条件由其右边的零极点决定。 奇数个π，无论如何加减组合，总能 使±lπ(l=1,3,…)成立。
×
p5
规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹 的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 对于例题， 在实轴上的根轨迹：
2
0 a' ( s )b( s ) a( s )b' ( s ) 0
0
求出重根角为:

180
nm
注意：求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
在例题4-2-2中，
Kr
G( s) H ( s)
3
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
2
s( s 1)( s 2) ( s 5)
2

s 3s 2s s5
3 2
j
dK r ds

( 3 s 6 s 2)( s 5) ( s 3 s 2 s ) ( s 5)
3 2
2
-0.447 ●

2 s 18 s 30 s 10 ( s 5)
K r 0, 必有 s p j
Kr
s p1 s p2 s pn s z1 s z 2 s z m
G( s) H ( s) K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
j 1,2..., n
K r , 必有 s zi
i 1,2,..., m
[例]
G( s)
K ( s 1.5)( s 2 j )( s 2 j ) s( s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
4

根轨迹起始角
3
p (2h 1) ( p 2 z i ) ( p 2 p j )
－与虚轴的交点
与虚轴的交点为 j 5 。 例4-2-2的根轨迹如图。 1、画出开环零极点 3、画出实轴上的根轨迹 4、求渐进线（n≠m） 5、求分离点 7、画出根轨迹
G( s) H ( s)
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
j
Kr=.084
2、确定根轨迹根数
﹣.447
●
●
﹣5 S 0 ﹣2 ﹣1
× × ×
2
0

×
●
当s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为ψ，可写成：
m n l 180
P5
图4－5
●
进而求出渐近线夹角：

l 180 nm
,
l 1,3,...
渐近线一定交于实轴上，其交点实际 由对称性知， 上相当于零极点的质量重心。 p z 按照重心的求法，可求知交点的坐标
性质： 在此点上必出现重根。
Kr=∞
Kr=∞
Kr=0
Kr=0
利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一分离点。 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一会合点。 根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。 分离点－最大值，会合点－最小值。
●
j 5, Kr 3
× × ×
﹣2 ﹣1 0
6、求与虚轴交点
﹣5
1

j 5, Kr 3
8、求出特殊点对应的Kr值
n