( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
vx = dx dt dy vy = dt
t = t0
= (v 0 t cos α )′ t = t 0 = v0 cosα 1 = (v 0 t sin α − gt 2 )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
t = t0
∴ 在时刻t0炮弹的速度为
2 2 v = v x + v 2 = v0 − 2v0 gt 0 sin α + g 2 t 02 y
1 2 (3) 令y = v0 t sin α − gt = 0 2
2v0 sin α 得 t1 = 0 , t 2 = g
当 t = t 2时,
2 v0 sin 2α 2v0 sin α x = v0 t cos α = v0 ⋅ cos α = g g
当 sin 2α = 1, 即α =
π
4
时 , x取最大值,即射程最远.
d2y 练习：求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx
⎧ x = a cos t ， 1、 ⎨ ⎩ y = b sin t ；
⎧ x = f ′( t )， 2、 ⎨ 设 f ′′(t ) 存在且不为零. ⎩ y = t f ′( t ) − f ( t ).
x0 − 8 切线的斜率 k = x0 − 3 x0 − 8 ∴k = = 2 x 0 , 得到 x 0 = 2或 x 0 = 4 x0 − 3
2 2
2
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程.
(1 ) x 0 = 2, 切点 ( 2 ,4 ), f ′( 2 ) = 4 ,
⎧ x = 2t , x 例如 ⎨ t= 消去参数 t 2 ⎩y = t , 2 2 1 x 2 x 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参数困难或无法消参数时如何求导?
⎧ x = ϕ (t ) 在方程 ⎨ 中, ⎩ y = ψ (t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
′ − sec2 t ( − tan t ) d y d dy = = ( ) = 2 3 ′ − 3a cos 2 t sin t dx dx (a cos t ) dx
2
sec4 t = 3a sin t
⎧ x = a ( t − sin t ), 例2 求由摆线的参数方程 ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t )
2．1 2．2 2．3 2．4
导数的概念 函数的求导法则 高阶导数
隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 2．5 导数的简单应用 函数的微分
2．6
2.4
隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
⎧ x = ϕ (t ) 若参数方程 ⎨ 确定 y与x间的函数关系 , ⎩ y = ψ (t ) 称此为由参数方程所确 定的函数 .
y
y=
3
x −1
0
1
x
在x = 1处不可导， 但此时有垂直切线x = 1.
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程. 解 易见点 M ( 3 ,8 )不在曲线 y = x 2 上 .
设曲线 y = x 2的过 M 点的切线的切点为 P ( x 0 , x 0 )
曲线在 P 点的切线的斜率为 f ′( x 0 ) = 2 x 0
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导 , 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
y
y = f ( x)
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的 切பைடு நூலகம்的斜率 , 即 f ′( x 0 ) = tan α , (α为倾角) o
α
T M
x0
x
切线方程为 y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ). 1 ( x − x0 ) ( f ′( x0 ) ≠ 0). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x 0 )
注意 设函数 f ( x )在点 x0连续, 但 f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Δy = lim = ∞, lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 称函数f ( x )在点x0有无穷导数. (不可导！ ) f ( x ) = 3 x − 1, 例如,
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Δy lim = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 1 = lim 2 = +∞ Δx → 0 Δx 3
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = −1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
π ⎧ x = a ( t − sin t ) 例3 求摆线 ⎨ 在t = 处的切线 方程 . 2 ⎩ y = a (1 − cos t )
2
h tanα = 500
500米
α
思考
1. 求螺线 r = θ 在对应于θ = 解 化为参数方程
π
当θ =
π
dy dy sinθ + θ cosθ = dθ d x = cosθ − θ sinθ dx dθ
2 x = r cosθ = θ cosθ y = r sinθ = θ sinθ
的点处的切线方程.
600
练习 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直 上升 , 其速率为 140 米 / 分 .当气球高度为 500 米时 ,
观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解 设气球上升 t分钟后, 其高度为 h, 观察员视线
的仰角为 α, 则
dα 1 dh 500米 = ⋅ 上式两边对 t求导得 sec α ⋅ dt 500 dt dh ∵ = 140米 / 分, 当 h = 500米时 , sec 2 α = 2 dt dα ∴ = 0.14(弧度 / 分 ) 仰角增加率 dt
3 5 (米 / 秒) = =− 2 2 5 100 + 50 −150
t 时刻
x米
例5 河水以8米 3 / 秒的体流量流入水库中 , 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽 , 问水深 20米时 , 水面每小时上升几米 ?
解 设时刻 t水深为 h( t ), 0m 00 4 水库内水量为 V ( t ), 则 V ( t ) = 4000 3h2 dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ⋅ dt dV ∵ = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt
l ( t ) = x ( t ) + 100
2 2
2
(1)
dl dx （2） (1)式两边对t求导得 2l = 2 x dt dt dx 又已知 = −3米 / 秒,（负号表示距离缩短!） dt dl x dx x dx ∴ = = dt x = 50 l dt x = 50 1002 + x 2 dt x = 50
解
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt π π 当 t = 时, sin dy 2 2 = 1. ∴ = π dx t = π 1 − cos π 2 x = a ( − 1), y = a . 2 2
所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a(2 − ) 2
时对应点 M (0 , ) , 2 2 2 dy 斜率 k = π = −π dxθ =
2
2
π
∴ 切线方程为 y = −
π
x+
π
2
⎧x = t 2 + 2 t (0 < ε < 1) 2. 设由方程 ⎨ 2 ⎩ t − y + ε sin y = 1 dy . 确定函数 y = y (x) , 求 dx
⎧ x = ϕ (t ) 若函数 ⎨ 二阶可导 , ⎩ y = ψ (t )
d 2 y d dy = ( ) = d ⎛ ψ ′( t ) ⎞ dt ⎜ 2 ⎟ ⎜ ϕ ′( t ) ⎟ dx dx dx dx dt ⎝ ⎠
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
答案
b 1、 2 ； 3 a sin t
1 2、 . f ′′( t )
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则.
2.5
导数的简单应用
一、 切线与法线问题 二、 相关变化率
一、 切线与法线问题 由导数的几何意义，
dx dy 2.方程F (x , y)=0两边对t求导,得到 与 dt dt
的关系式.
例4 旗杆高为100米，一人以3米 / 秒的速度向旗杆前进，
当此人距杆脚50米时，人与杆顶的距离的变化率为 多少？