导数的综合应用★★★高考在考什么【考题回放】1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ）A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1)解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞，1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。
选D3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D（A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0<x ≤1时，f ' (x )<0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2。
选C 6.（湖南卷）曲线1y x=和y=x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积 是 .解析：曲线xy 1=和y=x 2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x +2和y =2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43.7.（安徽卷）设函数f (x )=x 3+bx 2+cx (x ∈R )，已知g (x )= f (x )- f ' (x )是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求g (x )的单调区间与极值。
【专家解答】：（Ⅰ）∵f (x )=x 3+bx 2+cx ，∴f ' (x )=3x 2+2bx+c .从而g (x )= f (x )- f ' (x )= x 3+bx 2+cx -(3x 2+2bx+c )＝x 3+(b-3)x 2+(c -2b )x-c 是一个奇函数，所以g (0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )=x 3-6x ，从而g ' (x )=3x 2-6，由此可知，(,-∞和)+∞是函数g (x )是单调递增区间；(是函数g (x )是单调递减区间；g (x )在x =，g (x )在x =-。
★★★高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次： 第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
【热点透析】导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5. 导数与其他方面的知识的综合★★★高考将考什么【范例1】设函数f (x)=ax 3-2bx 2+cx+4d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f (x)取极小值-32。
(1)求a 、b 、c 、d 的值；(2)当x ∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1,x 2∈[-1,1]时，求证：|f (x 1)-f (x 2)|≤34。
解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f (-x)=- f (x).∴-ax 3-2bx 2-cx+4d=-ax 3+2bx 2-cx-4d ，即bx 2-2d=0恒成立. ∴b=0,d=0,即f (x)=ax 3+cx. ∴f ′(x)=3ax 2+c.∵x=1时,f (x)取极小值-32. ∴f ′(1)=0且f (1)=- 32, 即3a+c=0且a+c=-32. 解得a=31,c=-1.(2)证明：当x ∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x 1,y 1)、B(x 2+y 2)，使得过这两点的切线互相垂直， 则由f ′(x)=x 2-1，知两点处的切线斜率分别为k 1=x 12-1,k 2=x 22-1, 且(x 12-1)(x 22-1)=-1. (*)∵x 1、x 2∈[-1,1], ∴x 12-1≤0，x 22-1≤0∴(x 12-1)(x 22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立. (3)证明：∵f ′(x)=x 2-1,由f ′(x)=0,得x=±1.当x ∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f ′(x)＞0; 当 x ∈(-1，1)时，f ′(x)＜0.∴f (x)在[-1,1]上是减函数，且f max (x)=f (-1)= 32, f min (x)=f (1)= -32.∴在[-1,1]上，|f (x)|≤32.于是x 1,x 2∈[-1,1]时，|f (x 1)-f (x 2)|≤|f (x 1)|+|f (x 2)|≤32+32=34.故x 1,x 2∈[-1,1]时,|f (x 1)-f (x 2)|≤34.【点晴】①若x 0点是y=f (x)的极值点，则f ′(x 0)=0,反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y=f (x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键. 【文】设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 解答：（1）22()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a --- 令()0f x '=得12,3x a x a == 列表如下：∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减x a =时，34()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小（2）22()43f x x ax a '=-+- ∵0<a<1，∴对称轴21x a a =<+， ∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a '=-+++-=-， 依题|()|f x a '≤⇔||Maxf a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得415a ≤≤，又0<a<1∴a 的取值范围是4[,1)5【范例2】已知322()23 ().3f x x ax x a R =--∈ (1)当1|| 4a ≤时, 求证f (x )在(-1,1)内是减函数; (2)若y = f (x )在(-1,1)内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解答：(1) ∵,x 3ax 2x 32)x (f 23--=∴.3ax 4x 2)x (f 2--=' ∵41|a |≤ , ∴,0)41a (4)1(f 0)41a (4)1(f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-=≤-=-'又∵二次函数f ' (x )的图象开口向上,∴在)1,1( -内f ' (x )<0, 故f (x )在)1,1( -内是减函数. (2)设极值点为),1x 1(x 0<<-∈则f ' (x 0)=0当41a >时, ∵,0)41a (4)1(f 0)41a (4)1(f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=>-=-'∴在)x ,1(0 -内f ' (x )>0, 在)1,x (0 内f ' (x )<0.即f (x )在)x ,1(0 -内是增函数, f (x )在)1,x (0 内是减函数.当41a >时f (x )在)1,1( -内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当41a -<时, 同理可知, f (x )在)1,1( -内且只有一个极值点, 且是极小值点.当41a 41≤≤-时, 由(1)知f (x )在)1,1(-内没有极值点. 故所求a 的取值范围为),41()41,(∞+--∞ Y【点晴】三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。