导数的综合应用题型及解法
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ；
1.已知函数y f (x ) x(x c)2
个
题型二：利用导数几何意义求切线方程
2.求下列直线的方程：
（1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线；
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为
3.已知函数
y=3x+1
f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式；
（Ⅰ）若函数
y =f (x) 在[－3，1]上的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数
4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ．
(1)求函数y =f (x) 的表达式；
(2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值；
5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ．
f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若
a, b 的值；
求实数
f (x) 总有两个不同的极值
（2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数
点．题型四：利用导数研究函数的图象
f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（
6.如右图：是 f（x）的导函数，
D ）
3
（A ） （B ） （C ） （D ）
y 1
x 3 4x 1个个个个
7. 函数
3 ( A )
6 4 2
-4 -2
y
o 2 4
-2 -4
6 4 2 x
-4 -2
y
o 2 4 -2 -4
x -4
6 y
6 y
4 4 2 2
y 2 4 x
o x
-2
-2 -2 2 4
-4
-4
8．方程 2x 3
6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个
( B )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
f (x ) = - 1
x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1.
9.
设函数
3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值.
（2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f '
(x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围.
2
10.
已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－
3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间
（2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ）<c2 恒成立，求 c 的取值范围。
题型六：利用导数研究方程的根
1 3
11．已知平面向量a =( ,－1). b =( 2 , 2 ).
（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t ，使 x = a +(t2－3)
b ， y =-k a +t b ， x ⊥ y ， 试求函数关系式 k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)－k=0 的解的情况.
题型七：导数与不等式的综合
12. 设 a > 0,函数f (x ) = x
3
- ax 在[1,+∞) 上是单调函数.
（1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x
0 ≥1，
f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .
13.
已知 a 为实数，函数
f (x ) = (x 2 + 3
)(x + a )
2
（1） 若函数 f (x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线，求 a 的取值范围
（2） 若
f '(-1) = 0 ，求函数 f (x ) 的单调区间
题型八：导数应用题
14.
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y （升）关于行驶速度 x （千
y = 1 x 3 - 3 x + 8(0 < x ≤ 120).
米/小时）的函数解析式可以表示为： 128000
80 已知甲、乙两地相距 100 千米。
（I ） 当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 题型九：导数与向量的结合
a = ( ，- 1 ),
b = ( 1 ， 3 ). 1．设平面向量
2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s 、t 及实数 k ，
使
x = a + (t 2
- k )b , y = -sa + tb ,且x ⊥ y （1） 求函数关系式 S = f (t ) ；
（2） 若函数
S = f (t ) 在[1，+ ∞) 上是单调函数，求 k 的取值范围。
？
3。