排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1. 从 9 人中选派 2 人参加某一活动，有多少种不同选法？2. 从 9 人中选派 2 人参加文艺活动， 1 人下乡演出， 1 人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女 8 名学生干部中选出 2 名男同学和 1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90 种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A. 男同学2 人，女同学6 人B.男同学3 人，女同学5 人C. 男同学5 人，女同学3 人D.男同学6 人，女同学2 人4. 一条铁路原有 m 个车站，为了适应客运需要新增加 n 个车站（ n>1），则客运车票增加了 58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）个个个个答案：1、2 272 3 、选B. 设男生 n 2 1 3 2299n8n 3。
、 m nmC362、A人，则有 C C A 90 4 AA 58选 C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若 A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？2. 有 8 本不同的书， 其中 3 本不同的科技书， 2 本不同的文艺书， 3 本不同的体育书，将这 些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )答案： 1.2 432524325A A48(2) 选B AAA 1440三、不相邻问题：1. 要排一个有 4 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1 到 7 七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？名男生和 4 名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）4. 排成一排的 8 个空位上，坐 3 人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？张椅子放成一排， 4 人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中， 需给舞台上方安装一排彩灯共 15 只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有 6 只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必 须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是（ ）种种种 种答案：1. A 44 A 53 1440 （ 2） A 33 A 44 144 （ ）选 B 2A 44 A 44 1152 （ 4） A 43 24 （5） A 44 A 52 480 333（ ） 3 3 （ ）选 6（6） 3424 3 4144 A C 828A C7 A A8四、定序问题：1. 有 4 名男生， 3 名女生。
现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？2. 书架上有 6 本书，现再放入 3 本书，要求不改变原来 6 本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？答案： 1.A 77840 2.A 99504A 33 A 66五、分组分配问题：1. 某校高中二年级有 6 个班，分派 3 名教师任教，每名教师任教两个班，不同的安排方法有多少种？2. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有多少种？4. 6 人住 ABC 三个房间，每间至少住 1 人，有多少种不同住宿方案？5. 有 4 个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？6. 把标有 a，b，c，d，e,f,g,h,8 件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中a、b 不赠给同一个人，则不同的赠送方法有种（用数字作答）。
答案：1. C62C42 C22 390 1 2 3 3（ 3）C83C51C42C22 2A333 6 5 3 3A222A （2）C C C A 360 A 1680（ 4）C61C51C44 3 1 2 3 3 C62C42 C22 3 540 （5）C42C21C11 1 A 3 144 A22 A C C C A A33 A A22 C3 6 5 3 3 34 3C21C11 C63C33 2 2(6)A22 A22 A2 A2 40六、相同元素问题：1.不定方程x1x2x3x47 的正整数解的组数是，非负整数解的组数是。
2.某运输公司有 7 个车队，每个车队的车多于 4 辆，现从这 7 个车队中抽出 10 辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有（）种种种种3.将 7 个相同的小球全部放入 4 个不同盒子中，（1）每盒至少 1 球的方法有多少种？（2）恰有一个空盒的方法共有多少种？4.有编号为 1、2、3 的 3 个盒子和 10 个相同的小球，现把 10 个小球全部装入 3 个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有（）种种种种5.某中学从高中 7 个班中选出 12 名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有 1 人参加的选法有多少种？答案：1.C 3 3 684 3.（1）C3 1 260（）选C, C215 6 10 9 6 4 6 620, C 1202.选A C 20 （2）C C 4（ 5）C116462七、直接与间接问题：1. 有 6 名男同学， 4 名女同学，现选 3 名同学参加某一比赛，至少有 1 名女同学，由多少种不同选法？人排成一列（ 1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（ 2）甲必须站两端，乙站最中间，有多少种不同排法？(3) 甲不站排头乙不站排尾 , 有多少种不同排法？3. 由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且不是 5 的倍数的五位数？4. 2 名男生 4 名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？5. 从 5 门不同的文科学科和 4 门不同的理科学科中任选 4 门，组成一个综合高考科目组，若 要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数（）种种 种 种6. 5 人排成一排，要求甲、乙之间至少有 1 人，共有多少种不同排法？7. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点不同取法有多少种？答案： 1、 C 41 C 62 C 42 C 61 C 43 100 或 C 103 C 63 100 2. （1） A 22 A 55 240 （2） A 21 A 55 240 (3)1 15 63720 或7653 、 14 600 或5460055567655565A A AAA2A A 3720A AA A4、6433222 122576 5 、选 1 3 2 C 2 3 1 120 或64342342235 4 5 4 5 4A A A576或AAAAAAA C C C C 94 C 54 C 44 120 6 、 A 31 A 22 A 33 A 32 A 22 A 22 A 33 A 22 72 或 A 55 A 22 A 44 72 7 、C 1044C 6463141八、分类与分步问题：1. 求下列集合的元素个数．（1） M {( x, y) | x, y N , x y 6} ；（ 2）．{( x, y) | x, y N ,1 x 4,1 y 5}H2. 一个文艺团队有 10 名成员，有 7 人会唱歌， 5 人会跳舞，现派 2 人参加演出，其中 1 名会唱歌， 1 名会跳舞，有多少种不同选派方法？3. 9 名翻译人员中， 6 人懂英语， 4 人懂日语，从中选拔 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担 任英语翻译， 2 人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。
4. 某博物馆要在 20 天内接待 8 所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观 3 天，其余学校只参观 1 天，则在这 20 天内不同的安排方法为 （ ）A. C 320 A 177 种B.A 820 种 C.C 118A 177 种 D.A 1818 种5.从 10 种不同的作物种子选出 6 种放入 6 个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不能放第一号瓶内，那么不同的放法共有 ( )A. C102A48种B.C19A 59种C.C18A 59种D.C19A 58种6.在画廊要展出 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有 ( )A.A14A55种B.A23A 44A55种C.A14A 44A55种D. A 22A 44A 55种7.把一个圆周 24 等分，过其中任意 3 个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是( )8.有三张纸片，正、反面分别写着数字 1、 2、 3 和 4、5、6 ，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是 ( )A. 249.在 1～20 共 20 个整数中取两个数相加 , 使其和为偶数的不同取法共有多少种 ?10．用 0， 1， 2， 3，4，5 这六个数字，（ 1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（ 2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数？（ 4）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？（ 5）可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数？（ 6）可以组成多少个大于 3000，小于 5421 的数字不重复的四位数？11.由数字 1， 2， 3，4，5，6，7 所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第 379 个数是（）12.设有编号为 1、2、3、 4、 5 的五个茶杯和编号为 1、 2、3、 4、 5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有(）种种种种13.从编号为 1，2，， 10,11 的 11 个球中取 5 个，使得这 5 个球的编号之和为奇数，其取法总数是（ )种种 种 种14. 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，试求各有多少种情况出现如下结果(1) 4 只手套没有成双； (2) 4 只手套恰好成双；(3) 4 只手套有 2 只成双，另 2 只不成双15. 从 5 部不同的影片中选出 4 部，在 3 个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放 映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。
16. 如下图 , 共有多少个不同的三角形 ?答案： 1、（ 1） 15 （2）20 2 、32 C 22 C 21C 81 C 51C 31 32 3. C 53C 32 C 52C 32C 53C 3190 4.选 C1C 75.156.45 27.C 1222 264 8.C 23348C17 选 C CA选 D A A A选 选 A188 945239.290 10.111100 （ ）6 6180 （ ） 4 48 （ ） 211 110（）55 452 442C1A A A 2 5 3 3 4 4 AAAA 52(5)6 25 100 131 (6) 120 48 61 175 11. 选 B32379 12 、选B653AA 1C 55 C 53 1 C 52 2 31 13、选 B C 61C 54 C 63C 52 C 65236 14 、(1)C 64C 21C 21C 21C 21240 (2) C 6215 (3) C 61C 52 C 21C 2124015.4C 42C 21C 113180 16. 所有不同的三角形可分为三类：5A 223C A第一类 : 其中有两条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5 个 ; 第二类 : 其中有且只有一条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5× 4=20个 ; 第三类 : 没有一条边是原五边形的边 , 即由五条对角线围成的三角形 , 共有 5+5=10 个. 由分类计数原理得 , 不同的三角形共有 5+20+10=35个 .九、元素与位置问题：1．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？2.25200 有多少个正约数 ?有多少个奇约数 ?答案： 1. （1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381种；（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464 种.2.25200 的约数就是能整除 25200 的整数 , 所以本题就是分别求能整除 25200 的整数和奇约数的个数 .由于 25200=24×32×52×7(1) 25200的每个约数都可以写成2l 3 j5k7l的形式,其中0 i 4,0 j 2,0 k 2,l 1于是 , 要确定 25200 的一个约数 , 可分四步完成 , 即i, j, k,l分别在各自的范围内任取一个值, 这样i有 5 种取法 , j有 3 种取法 ,k有 3 种取法 ,l有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为 5×3× 3× 2=90 个.(2)奇约数中步不含有 2 的因数 , 因此 25200 的每个奇约数都可以写成3j5k7l的形式 , 同上奇约数的个数为 3× 3×2=18 个 .十、染色问题：1.如图一 , 要给① , ②, ③, ④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同颜色 , 则不同涂色方法种数为 ( )A. 180B. 160C. 96D. 60②①①④③③④③④①②②图一图二图三若变为图二 , 图三呢 ?2.某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、BA黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、 B、C、D（如图）每一C D部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，则不同颜色粉笔书写的方法共有种（用具体数字作答）。