x (t0 ) yzi (t ) , t t0 u(t ) 0 , t t0
若初始状态恒为零，则输出仅 由输入引起，这样的输出称作零状 态响应
x (t0 ) 0 y2 s (t ) , t t0 u(t ) , t t0
根据可加性，线性系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应之和
系统在t0时刻是松弛的，是指其t0的初态为0。于是t0时刻松弛的因果系统
y(t ) g (t, ) u()d
t0
t
y(t ) G(t , )u()d
t0
t
1.4 线性定常系统
时间位移特性
系统被称作定常的（非时变的、时不变的）是指
x (t0 ) x0 y(t ) , t t0 u(t ), t t0
ˆ ( s) C ( sI A) 1 B D G
1.6 分布系统与非线性系统
一、集总系统与分布系统
系统被称为集总的是指系统状态变量的数目是有限的，或者说它的状 态是有限维向量。而系统被称作分布系统是指它有无限多个状态变量。 传输线、柔性梁都是著名的分布系统。
【例2-2】考虑一个单位时间延迟系统，定义为 ：
y(t )
d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) u(t ) 2 dt dt
k
f
选取状态变量
x1 (t ) y (t ) x (t ) x ( t ) v ( t ) 2
m
u (t )
y(t )
则
1 y (t ) v(t ) x2 x 2 v (t ) (t ) x y
Ax Bu x
y Cx Du
Ax Bu x y Cx Du
线性定常系统
D=0
y g( x,u, t )
三、状态空间方程（状态空间表达式、动态方程）
f ( x, u, t ) x y g( x, u, t )
一般形式
1.3 线性系统
非线性系统也有定常的、时变的，集总的、分布的，连续的、离散的
同样，离散时间系统也有定常的、时变的，集总的、分布的，线性的、 非线性的 ，等等
2 状态空间方程的建立
2.1 从系统的机理出发
【例2.4】如图所示RLC电网络，以左端口激励电动势为输入， 右端口的响应电压为输出列写如图的状态空间方程 元件特性： vL L KVL： 选取状态：

研究对象：线性系统、非线性系统、时变 系统、多变量系统、连续与离散系统 数学上：状态空间法
方法上：研究系统输入/输出特性和内部性 能


现代控制理论基本内容 控制理论必须思考的三个问题：鲁棒性 （1）系统能否被控制？可控性有多大？ （2）如何克服系统结构的不确定性及干扰带来 的影响？ （3）如何实现满足要求的控制策略？
y x2
1 0 x k f 1 k f y (t ) y (t ) u (t ) m m m m m k f 1 x1 (t ) x2 (t ) u (t ) m m m y [ 0 1 ]x
现代控制理论
2015数学建模暑期培训
理学院：滕宇
控制论定义

控制论是研究各类系统的调节和控制规律的科学。它是自 动控制、通讯技术、计算机科学、数理逻辑、神经生理学、 统计力学、行为科学等多种科学技术相互渗透形成的一门 横断性学科。它研究生物体和机器以及各种不同基质系统 的通讯和控制的过程，探讨它们共同具有的信息交换、反 馈调节、自组织、自适应的原理和改善系统行为、使系统 稳定运行的机制，从而形成了一大套适用于各门科学的概 念、模型、原理和方法。
1.3 线性系统
（连续时间系统）
三、系统结构图
Ax Bu x y Cx Du
1 ˆ G ( s) C ( sI A) B D
1.3 线性系统
（连续时间系统）
四、线性系统的输入—输出描述
y(t ) g (t, ) u()d

其中 g (t, )是一个二元函数，值为τ时刻作用于系统的理想脉冲（输入）所 引起系统在 t 时刻的响应（输出），称之为系统的脉冲响应。 若系统是因果的，则输出不可能在施加输入之前表现出来，于是有：
t t0
可加性 可加性和均匀性合在一起称为叠加性。
均匀性（齐次性）
1 x1 (t0 ) 2 x2 (t0 ) 1 y1 (t ) 2 y2 (t ) , t t0 1u1 (t ) 2 u2 (t ), t t0
1.3 线性系统
若输入恒为零，则输出仅由初 始状态引起，这样的输出称作零输 入响应
系统的状态空间模型
1. 状态及状态空间
2. 状态空间方程的建立
3. 状态空间的线性变换
1. 状态及状态空间
【例1-1】 如图所示弹簧－阻尼器－质量系统， 按经典控制理论知，其输入－输出微分方程描 述是： d 2 y (t ) dy(t ) m f ky(t ) u(t ) 2 dt dt
任意常数T
x (t0 T ) x0 y(t T ) , t t0 T u(t T ), t t0 T
Ax Bu x y Cx Du
y(t ) G(t )u()d
t0
t
因有时间位移特性。定常系统的初始时刻通常选为零 如果系统不是定常的，则称之为时变的 time-invariant time-variant
（连续时间系统）
在系统的状态空间方程中，若状态方程和输出方程均为线性 方程，即 x 和 y 均为x，u的线性函数，则称系统为线性系统
一、线性系统状态空间方程的系数矩阵
A(t ) x B(t )u x y来自 C (t ) x D(t )u
dim x n dim u p dim y q
四、状态空间
以状态变量用x1(t)，x2(t), … , xn(t)为坐标轴所为基张成的n维 空间，称为状态空间。 在特定的时刻t，状态向量x(t)在状态空间中是一点。
五、状态轨线
随着时间的推移， x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹，称为 状态轨线。
1.2 状态空间描述
（连续时间系统）
一、状态方程 f ( x,u, t ) x 二、输出方程

1948年，美国Wiener在《控制论－关于在动物和 机器中控制和通信的科学》中系统地论述了控制 理论的一般原理和方法。 －－－标志控制学科的诞生
控制论：研究动物（包括人类）和机器内部控 制和通信的一般规律的学科。

1954年，钱学森的《工程控制论》在美国出版。
－－－奠定了工程控制论的基础
现代控制理论的主要特点
说明: 控制论研究系统的信息变换和控制过程。尽管一般系统具有物 质、能量和信息3个要素，但是控制论只把物质和能量看作系统工作 的必要前提,并不追究系统是用什么物质构成的，能量是如何转换的， 而是着眼于信息方面，研究系统的行为方式，揭示其行为方式方面的 一般规律。

WATT’s Flyball Governor(飞球调速器)
1.6 分布系统与非线性系统
二、非线性系统
不满足叠加原理的系统就是非线性系统，集总的非线性系统的状态空 间方程一般只能写作左下形式；若状态方程及输出方程中不显含时间t则又 可称之为自治系统，如右下
f ( x, u, t ) x y g( x, u, t )
f ( x, u) x y g( x, u)
用于确定动态系统状态的一组变量称作状态变量。
1.1 几个重要的概念
三、状态向量
n 个状态变量依次用 x1(t)，x2(t), … , xn(t) 表 示，再把这些状态变量看作是向量 x(t) 的分量， 则x(t) 就称为状态向量，记作（见右）
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x ( t ) n
dv di L , iC C C dt dt
x1 iL x x2 vC
R L x 1 C y 0
di L u R iL L vC dt

1 1 L x L u 0 0 1
1.5 离散时间系统
工程系统因计算机控制的需要，时间离散化 非工程系统，根据需要建模时主动将时间离散化 其它一些本质上就是离散时间系统的情况 《计算机控制》课程中重点讨论离散时间系统
同连续时间系统一样，系统的激励u和响应y分别称为系统的输入和输 出，x为系统的状态变量；系统状态方程是一阶差分向量方程，输出方程 是一阶代数方程；状态方程与输出方程合称为系统的状态空间方程，若系 统还是定常的，则可写作 ：
当系数矩阵确定后，系统的状态空间方程也就完全确定了， 故为简便起见，有时直呼该系统为系统 { A(t ), B(t ), C (t ), D(t ) }
1.3 线性系统
二、叠加原理
满足叠加原理是线性系统的一个基本特征，可作为线性系统的定义：
系统被称作为线性系统是指对每一个
y i (t ) , t t 0 ui (t ) , t t0 xi ( t 0 )
t 0 及任意两个状态-输入－输出组：
i = 1,2
x1 (t0 ) y1 (t ) u1 (t0 ) t t0
一定有（α为任意实常数 ）
x1 (t0 ) x2 (t0 ) y1 (t ) y2 (t ) , t t0 u1 (t ) u2 (t ) , t t0
x
2.1 从系统的机理出发
【例2.5】试建立一个两年制中专学校学生学籍管理动态模型。设：录