( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式

非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）

x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量

正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji

N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )

反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵

二阶张量的行列式
det(1 ) g det( 2 ) g det( 3 ) g 2 det( 4 )
通常定义 3 的行列式为张量T的行列式
T
T i T det T det( 3 ) T det T j
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
T det( ) det( ), det( ) det( 4 ) T 1 T det( ) det( ), det( ) det( 2 ) T 3 TT 2 TT 3 TT 1 TT 4
两个二阶张量的点积 3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。 只有取 2 ， 二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。

正则与退化的二阶张量

行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。
• •

任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0来自二阶张量的矩阵
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。 求迹运算，即缩并，对应于求 3 矩阵的对角线元 素之和。 二阶张量与矢量的点积，即线性变换。例如：

w T u
该运算具有线性性质：
T ( u v ) T u T v
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式

实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N g1 N1 1 g1 N g2 N2 2 g2
N a a
特征方程，λ即N的特征

值，a即N的特征向量。 N g3 N3 g 3 3 特征值为什么是三个？ 分量形式 Nij a j ai
ω e3
e1 e2
几何意义！
e2 e1
倍
e1 , e2
整体绕轴旋转90度，扩大
几种特殊的二阶张量

•
正交张量Q：对应着标架的刚性旋转
最简单的坐标变换
y
y
x cos y sin
•
sin x cos y
几种特殊的二阶张量

正张量：N>0的对称二阶张量 非负张量：N≥0的对称二阶张量
u N u 0 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
对称二阶张量为正张量的充要条件：
N1 0 N1 0
N2 0
N3 0 N3 0
几种特殊的二阶张量

零二阶张量O
Oij 0

Ou 0
度量张量G
G g1 g1 g2 g 2 g3 g3 gi gi
G u u G T T
几种特殊的二阶张量

•
二阶张量的幂
正整数次幂
T 2 T T
T 3 T T T
T m T T T T
WHY?
T Tji g g Ti g g j T gi g T gi g j
二阶张量的矩阵

二阶张量的转置张量所对应的矩阵


TT 1
( )
T T 1
TT 2
( )
T T 3
TT 3
( )
T T 2
TT 4
T T ( 4 )
对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
对称二阶张量为非负张量的充要条件：
N2 0
几种特殊的二阶张量

非负张量的方根
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
N M2
可证明：
N M
M M1e1e1 M 2e2e2 M 3e3e3
M1 N1

M 2 N2
p
M 3 N3
非负张量的任意次方根
NS
1
二阶张量的不变量（代数）

二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
T T u v w u T v w u v T w J 1 u v w
T T u T v w u T v T w T u v T w J 2 u v w
第2章 二阶张量
2015年4月18日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解
正交相似二阶张量
二阶张量的矩阵

二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T Tij g g Ti g g j T gi g T gi g j
T u
T T v T w J3 u v w
正则二阶张量，有Nanson公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式

实对称二阶张量的标准形
•
简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力 σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3 σ ij ei e j

反对称二阶张量Ω
ΩT Ω
0

1 2
ij i j
1 3 32
1 3 2 0 1 3 32
只有3个独立分量
J3 0
0
主不变量：
J1 0，
1 2 1 2 J2 (2 ) (3 ) (32 )2 2 1 :Ω 反偶矢量： ω Ω ω 2 线性变换： Ω u u Ω 蝌 u : u u

非负张量的构造：任意二阶张量T
X T T T 0 Y T T T 0 Y T T T > 0

正张量的构造：正则二阶张量T
X T T T > 0
几种特殊的二阶张量

反对称二阶张量Ω 二阶张量T可加法分解为对称张量N和反对称张量Ω
T N Ω
几种特殊的二阶张量
i j i i j j ij
j

以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
j i ij 1 T T T T 2 4 ij i 3 j
3 矩阵是最重要的张量矩阵。 其中，

二阶张量的转置张量
T i j j i i j j ji
以及
J1 J 1 2 J2 ( J ) J 1 2 2 1 3 1 1 J 3 ( J1 ) J1 J 2 J 3 6 2 3 J J1
J2 ( J1 )2 2J 2 J3 ( J1 )3 3J1J 2 3J3 1
几种特殊的二阶张量

反对称二阶张量Ω的标准形
3 J2 0
→
3 2 0
e3
0 0 0 0 0
只有一个实根 3 0 实数标准形
对应特征方向，轴向，零向
0 0
e1e2 e2e1
可证：
e3 0
i l l i i i

二阶张量T的矩：
J1 tr (T ) Tii i j J 2 tr (T T ) T jTi J3 tr (T T T ) T ijTkjTik
二阶张量的不变量（代数）

二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
ijk j k TliTm Tn C3

二阶张量的不变量（代数）

二阶张量T的三个主不变量：
J1 G : T T T 1 ij l m 1 i l J 2 lmTi T j (Ti Tl TliTil ) 2! 2 1 ijk l m n J 3 lmnTi T j Tk det(T ) 3!
• •
uv
满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u