Fx"1 x1 A, Fx"1 x 2 B, Fx"2 x 2 C
Fx"1 x1 Fx"1 x 2 Fx"1 x1 0 AC B 0 0 * " " B C Fx 2 x1 Fx 2 x 2 H(X ) " Fx 2 x1 " A0 Fx1 x1 0
梯度是一个向量,其方向是函 (K ) 数在 X 点处数值增长最快的 方向.
7
2.2 目标函数的等值线(面)
8
9
2.3 无约束目标函数极值点存在条件

函数的极值与极值点
10

极值点存在条件
一元函数的情况 极值点存在的必要条件
F ' ( x*) 0
的点称为驻点，极值点必为驻点，但驻 点不一定为极值点。 极值点存在的充分条件 若在驻点附近 F '' ( x * ) 0
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
X [x1 , x2 , xn ]T
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 Hk H ( X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
第二篇 机械优化设计
第二章 优化设计的理论与数学基础
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 目标函数的泰勒(Taylor)展开式 目标函数的等值线(面) 无约束目标函数极值点存在条件 凸集与凸函数
约束极值点条件 2 .6 优化计算的数值解法及收敛条件
1
二次函数的矩阵表示方法(补充)
2 二元二次函数 F ( X ) F ( x1 , x2 ) ax12 bx1 x2 cx2 dx1 ex2 f
(二阶偏导数矩阵) n×n阶的对称方阵
6
一阶偏导数矩阵 称为函数在K点的梯度：
F
" xixj
ห้องสมุดไป่ตู้
F
" xjxi
F ( X
(K )
F ( X ) x1
(K )
) F ( X , x2
(K )
)
F ( X , xn
(K )
)
T
) F ( X (K ) ) 称为函数在 X ( K点的梯度.
F ' ( x*) 0
则x *点为极大点
则x *点为极小点
11
F '' ( x * ) 0
二元函数的情况
多元函数的情况:
(一)极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
2
A B
Fx"1 x 2 正定 " Fx 2 x 2
15
小结:无约束目标函数极值点存在条件
极值存在的必要条件: 各一阶偏导数等于零
Fx' 1 0 ' * Fx 2 0 H F ( X ) ... ... ' Fxn 0
的极值点必须满足
f ( X ) 4 x1 2 x3 0 x1
f ( X ) 10 x2 2 x3 6 0 x2
f ( X ) 2 x1 2 x2 2 x3 0 x3
解此联立方程得：
x1 1,
x2 1,
x3 2
X * [1 ,1 ,2]T 即点 此驻点是否为极值点。
各阶主子行列式均 大于零→正定
16
例题
2 试判断X0=[2 4]T是否为下面函数的极小点：F ( X ) x14 2 x12 x2 x12 x2 4 x1 5
解：
Fx' 1 4 x13 4 x1 x2 2 x1 4 0 F ( X 0 ) ' 2 2 x1 2 x2 0 Fx 2 满足极值存在的必要条件
*
T 1 F ( X ) F ( X ) F X X T H ( X * )X 2
*
若：
=0
二次型>0
处处F(X) >F(X*), 故点X*为极小点
13
什么是矩阵正定、负定、不定？
a11 a12 a 21 a22 A ... ... an1 an 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... ann a11 a21 ... a12 a22 ... ... a1n ... a2 n ... ... 0
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
" x1 x1
f "( x* ) 0
Fx"1 x1 0
F
2 " x1 x 2
F
" x2x2

0
《高等数学》：设函数F(X)=F(x1,x2)在点X*的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数，在点X*有F'x1=0、 F'x2=0，令：
为一驻点。再利用海赛矩阵的性质来判断 18
2 f ( X (*) ) x x 1 1 2 f ( X (*) ) (*) H(X ) x2 x1 2 f ( X (*) ) xn x1
a11 a21
①若各阶主子行列式均大于零→正定
a11 a11 0
a11 a12 a11 a22 a12 a21 0
a21 a22
an1 an 2 ... ann
②若各阶主子行列式如下→负定
a11 0
a11 a12 a21 a22 0
a11 a31 a12 a32 a13 a23 0 a33
驻点
极值存在的充分条件: 海赛矩阵H(X*)正定→点X*为极小点
Fx"1 x1 " (k ) Fx 2 x1 H(X ) ... " Fxnx1 Fx"1 x 2 Fx"2 x 2 ...
" Fxnx 2
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
验证:
2a b x1 d 2ax1 bx2 d F ( X ) AX B x e bx 2cx e 2 b 2c 2 1 2
二次函数的矩阵表示方法(补充)
例题:将F(X)=x12-2x1x2+x22-8x1+9x2+10写成矩阵表示式，并求其梯度。 解:
x1 2a b X , A 令: b 2c , x2
则: 梯度:
d B , e
C f
1 T F ( X ) X AX BT X C 2
F ( X ) AX B
F x 2ax bx d 2 其中：: F ( X ) 1 1 F bx1 2cx2 e x 2
2 2 x1 8 2 x1 2 x2 8 F ( X ) AX B x 9 2 x 2 x 9 2 2 2 1 2
Fx' 1 2 x1 2 x2 8 验证: F ( X ) ' Fx 2 2 x1 2 x2 9
" Fxnx 2
F x 1 F x T 2 F F F F ( X ) , x1 x2 xn F xn
... Fx"1 xn " ... Fx 2 xn ... ... " ... Fxnxn
3
2.1 目标函数的泰勒(Taylor)展开式
工程实际中的优化设计问题，常常是多维且非线性函数形式，一般较为复杂。 为便于研究函数极值问题，需用简单函数作局部逼近，通常采用泰勒展开 式作为函数在某点附近的近似表达式，以近似于原函数。 一元函数f(x)在x(k)点的泰勒展开式：

二元函数F(X)= F(x1,x2)=在X(k)=[x1(k) x2(k) ]T点的泰勒展开式为：
4
' ' F ( X ) F ( X ( k ) ) Fx1 ( X ( k ) ) x1 Fx 2 ( X ( k ) ) x2
1 " 2 2 (k ) " (k ) " (k ) Fx1 x1 ( X ) x1 2Fx1 x 2 ( X ) x1x2 Fx 2 x 2 ( X ) x2 2
即:
T 1 F ( X ) Fk F X X T H k X 2
其中:
H(X
(K )
Fx"1 x1 ) " Fx 2 x1
Fx"1 x 2 Fx"2 x 2
5
海赛矩阵
多元函数F(X)在X(k)=[x1(k) x2(k) xn(k) ]T点的泰勒展开式为： 同上： 但其中：
14
a21 a22
...... 0
②不是正定或负定→不定
2.3 无约束目标函数极值点存在条件
必要条件 充分条件 极 小 H(X*)正定 极 大 H(X*)负定
函数极值
一元函数 二元函数
F ( X ) H