h2(X) =x2-2x3= 0
1-5绘出约束条件：
； ； 所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
; ; 。
第二章习题答案
2-1请作示意图解释： 的几何意义。
2-2已知两向量 ,求该两向量之间的夹角 。
2-3求四维空间两点 和 之间的距离。
2-4计算二元函数 在 处，沿方向 的方向导数 和沿该点梯度方向的方向导数 。
s.t.g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0
g2(X) =x1-8≤0
g3(X) =x2-10≤0
g4(X) =-x1≤0
g5(X) =-x2≤0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力 ，剪切弹性模量 ，材料重度 ，许用剪切应力 ，许用最大变形量 。欲选择一组设计变量 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 ，簧丝直径 ，弹簧中径 。试建立该优化问题的数学模型。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1*＝[3，4]T
函数值f(X1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线侧）寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程： ，解得X2*=[2，3] 。
x2-2x3= 0
3）各变量取值应大于0，即：
x1> 0,x2.> 0.，则-x1≤0，-x2≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X) =8(x1x3+x2x3) + 18x1x2X∈R3·
s.t.g1(X) = -x1≤0
g2(X) = -x2≤0
g3(X) = -x3≤0
h1(X) = 1500-x1x2x3=0
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
minf(X) = x12+ 2 x1x2
X=[x1,x2]T∈R2
s.t.g1(X) =-x1≤0
g2(X) =-x2≤0
h1(X) = 8000 - x12x2= 0
1-4要建造一个容积为1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
g3(X) =x2-50≤0
g4(X) =3-x3≤0
g5(X) = ≤0
g6(X) = ≤0
1-3某厂生产一个容积为8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= ,
表面积为目标函数，即：
minf(X) = x12+ 2 x1x2
(3) 步长加倍：
=0.7
.
比较 ，因 ，所以还应再向前搜索, 。
(4) 步长加倍：
=1.5
.
比较 ，因 。已找到具有“高－低－高”特征的区间
即： 时，
时，
时， 。
所以， ，单峰区间为：
解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= ；
（2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f(X) = 8(x1x3+x2x3) + 6x1x2+ 12x1x2
（3）建立数学模型的约束函数；
1）仓库的容积为1500m3。即：
1500-x1x2x3=0
2）仓库宽度为高度的两倍。即：
第一章习题答案
1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？
证明：求驻点： ，
，
H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在 点处函数 具有极小值。
2-7求函数 的极值点，并判断其极值的性质。
解： ，
，
H(X)是正定的，所以， 为凸函数。
2-8试判断函数 的凸性。
解： ，
H(X)是正定的，
所以， 为凸函数。
2-9试用向量及矩阵形式表示 并证明它在 上是一个凸函数。
解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= ；
（2）建立数学模型的目标函数；
取检验费用为目标函数，即：
f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2+ 2（8*25*0.02x1+8*15*0.05x2）
=40x1+ 36x2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X) =40x1+ 36x2X∈R3·
解： ，
H(X)是正定的，
所以， 为凸函数。
2-10现已获得优化问题
的一个数值解 ,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3-1函数 ，当初始点分别为 及 时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长 。
解：当 时
（1）取
=0.1
比较 ，因 ，所以应作前进搜索。
⑵步长加倍：
=0.3
再比较 ，因 ，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的 点。所以： 。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
求：
(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 时的四条等值线，并在图上画出可行区的围。
(2) 找出图上的无约束最优解 和对应的函数值 ，约束最优解 和 ；
(3) 若加入一个等式约束条件：
求此时的最优解 ， 。
解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
函数值f(X2*)= (2-3)2+ (3-4)2= 2 。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程： ， 解得X3*=[5/2，5/2] 。
函数值f(X3*)= (5/2-3)2+ (5/2-4)2= 2.形计算公式如下
解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= ；
（2）建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即：
f(X) =
（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf(X) = X∈R3·
s.t.g1(X) =0.5-x1≤0
g2(X) =10-x2≤0