主讲:阮学云安徽理工大学第一节绪论1.1 概念~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。

（三级减速器，V降低23%）1.2 优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。

第二节优化设计的数学模型2.1 例子。

设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S= a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。

法二：做图法2.2 优化设计的数学模型统一形式描述：min f(x) x=[x1,x2,………x n]Ts.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..mh j(x)=o j=1,2,…….p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题2.3 优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。

（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。

（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。

（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。

2. 优化设计问题的迭代思路3. 终止准则准则1-点距准则4. 1往往采用两个准则来判别4.2 往往采用两个准则来判别第三节一维搜索0 概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。

3.1 方法分类1. 分析方法（微分法）2. 数值迭代法(a). 直接法，包括黄金分割法和对分法(b). 间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法3. 一维搜索的最优化方法-分析法例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：3.2 进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

任意给定初始点X1和步长h，算出f(x1) 和x2=x1+h 点的f(x2)函数值。

3.3 黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x* 。

3.3.1 区间缩小的基本思路已知f(x) 的单峰区间[a,b] 。

为了缩小区间，在[a,b] 内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f(x1)和f(x2) 。

可能有三种情况：图(a)．经过一次函数比较，区间缩小一次。

在新的区间内，保留一个好点x1 和f(x1) ，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1 对称的点x3 ，计算f(x3) ，与f(x1) 比较。

如此反复。

图(b)．淘汰[a ,x1], 得新区间[a,b],此时：a=x1，x1=x2,x2为x1对称点，b=b。

图(c)．可归纳入上面任一种情况处理。

3.3.2 取点规则黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。

根据上式，黄金分割法的取点规则是3.3.3 收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。

对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）．区间绝对精度（2）．区间相对精度（3）．函数值绝对精度；（4）．函数值相对精度3.3.5 黄金分割法前提条件1）x1、x2在区间中的位置相对于边界来说是对称的2）在舍去一段后,留在新区间的那个点仍处于新区间内两个计算点之一的位置；3）在缩小区间时,λ的值为一不变的常数。

黄金分割法计算框图思考题：试用黄金分割法求近似极小点及极小值。

已知[a,b]=[0,2]，ε=0.01（只要求进行2轮迭代，判断是否收敛）。

3.4 二次插值法3.4.1 概念：是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。

随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代3.4.2 构造设目标函数f(x)在三点x1<x2<x3 上的函数值分别为f(x1),f(x2),f(x3) ，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2。

多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：二次插值法原理二次插值法区间缩小过程3.4.3 收敛准则相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1) 之间距离小于给定精度时,认为收敛。

3.4.4 特点：（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。

（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。

（3）如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。

第四节无约束优化方法0 概念：对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。

大量实际问题都是有约束的，研究无约束优化方法的意义在于：（1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。

（2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。

（3）有些理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。

4.1 无约束优化问题的数学模型无约束优化问题的数学模型是：4.1.1 无约束优化问题的求解方法及其分类无约束优化问题的间接解法无约束优化问题的直接解法（1）无约束优化问题的间接解法（2）无约束优化问题的直接解法直接解法依据的迭代公式为：此类算法的核心就在于确定一个恰当的搜索方向，各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向方法的不同，每一种确定方向的方法就派生出一类无约束优化问题的解法。

这是本章学习的一个总的脉络。

4.2 最速下降法4.2.2收敛准则：举例：求目标函数的极小点。

4.2.4 最速下降法的程序原理4.2.5 迭代过程4.3 共轭梯度法4.3.1概述从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。

4.3.2 迭代过程X（k+1）=x（k）+α（k）s（k）s(0）=- g0s(k+1）=- g k+1+βk s（k）βk= ||gk+1||2/ ||gk+1||24.4.1 概述牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。

其基本思想是：在点x (k)的邻域内用一个二次函数Ø(x) 去近似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x (k+1)，通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。

（1）一元函数求极值的牛顿型迭代法牛顿法又称作切线法（2）多元函数求极值的牛顿迭代法4.4.2 阻尼牛顿法牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿下降方向搜索的概念。

因此对于非二次型函数，在迭代过程中，可能出现的现象。

为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。

阻尼牛顿法公式推导过程令：4.4.3 阻尼牛顿法的程序框图4.4.4 方法特点：（1）初始点应选在X*附近，有一定难度。

（2）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。

（3）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。

此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。

虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。

4.5 变尺度法一.概述变尺度法综合以上两种方法优点：（1）梯度法：初期收敛速度快（2）牛顿法：在迭代极值点速度最快二.迭代公式X (k+1) =x (k)–α(k)A k g k开始：A k=I结束：A k=H k-14.6 鲍威尔法鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。

在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点。

根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。

搜索过程（黑板演示）坐标轮换法——沿各个坐标搜索，完成一轮搜索单纯形法——对整个区间的点进行搜索，典型的直接法第5节约束优化方法5.1 数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为5.2 有约束优化问题的分类(1). 直接法直接法包括：网格法、、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。

(2). 间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。

直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。

间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。

很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。

可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。

5.3.复合形法基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。

比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。

反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。

初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。

5.4 网格法典型的直接法——通过网格的方式，计算结点的函数值，比较大小得最好点。

5.5 随机方向法在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。

5.6 惩罚函数法5.6.1、将约束优化问题转换成新的无约束目标函数：计算过程程序框图5.6.2.分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合法三种。

这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。

例：用内点法求问题的约束最优解用内点法求问题的约束最优解内点法程序框图5.6.4.内点法的几个问题：（1）初始点X(0)的选择：初始点必须满足g i(x)≤0 ，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。

（2）初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。

一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。

（3 递减系数c的选择：一般来说，取0.1。

例：用外点法求下列问题的约束最优解外点惩罚函数的极小点向最优点逼近1．初始点可以任选，但应使各函数有定义2．对等式约束和不等式约束均可适用3．仅最优解为可行设计方案4．一般收敛较快5．初始罚因子要选择得当6．惩罚因子为递增，递增率c’有c’>1混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。