26
刚体空间运动
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刚体空间运动
计算角加速度
~
α
=
dω= dt
d ωe dt
+
d ωr dt
+
ωe
× ωr
~
d ωe = 0 d ωr = 0
dt
dt
α = ωe × ωr
由图: ω e = ω ⋅ tan β
α = ω eω r cos β
=
h2 +r2 rh3
vC2
方向？
α
ωe
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刚体空间运动
( β&
+
γ&)
=
β&&
+
γ&& +
β&
× γ&
在地面上看，其角加速度矢量
ε3
=
d dt
(α&
+
β&
+
γ&)
=
α&&
+
β&&
+
α&
×
β&
+
γ&& +
(α&
+
β&) ×
γ& 22
刚体空间运动
三、用欧拉角速度表示刚体的角速度
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刚体空间运动
进动角速度 方向沿 z0(ζ) 轴
ωψ = ψ&k 0
章动角速度 方向沿 x1(N) 轴
讨论： 求角速度时可否用
? ω = vC r
α
ω
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刚体空间运动
§14-5 刚体定点转动时各点的速度与加速度分析
一、速度
已知：刚体绕定点O 转动，
瞬时轴OC*，ω ， rP
C* h
vP
v P = ω × rP vP = ω ⋅ rP sin (ω , rP )
=ωh
P
2
刚体空间运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化
一、定义 刚体在运动过程中，其上有一点始终保持不动。
3
刚体空间运动
4
刚体空间运动
5
刚体空间运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化
一、定义 二、力学模型的简化
确定作定点转动刚体的位置 球面图形S在球面上的位置 球面图形S上圆弧AB的位置
当△t 趋于零时，OC的极 限位置记为OC*，即
OC * = lim OC Δt→ 0
OC* 即为刚体定点转动 的转动瞬轴，简称为瞬轴。
注意：在不同的瞬时，刚体的瞬轴的位置不同。 ⇔瞬轴在空间的方位是在不断变化的。
14
刚体空间运动
瞬时角速度矢量
大小:
ω = lim Δϕ
Δt→0 Δt
方向： 沿瞬轴
欧拉角： 进动角 ψ ， 章动角 θ，自转角 ϕ 。
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刚体空间运动
二、运动方程
用欧拉角ψ，θ，ϕ 作为坐标来描述刚体定点转动
的位置，则运动方程为：
ψ = ψ (t)
θ = θ (t)
ϕ = ϕ (t)
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刚体空间运动
§14-3 欧拉定理
一、欧拉定理 作定点转动的刚体，从某一位置到另一位置的任
何位移，可以由绕过定点的某一轴的一次转动来实现。 ⎯⎯ 达朗贝尔-欧拉位移定理
根据欧拉定理，合成运动是绕瞬轴的转动
ω = ωe + ωr = ω1 + ω2
⎯⎯角速度合成定理
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刚体空间运动
推广：绕 n个相交轴转动
n
ω = ∑ ωi i =1
二、刚体绕相交轴转动的角加速度合成定理
ω = ωe + ωr
~
α
=
d ω= dt
d ωe dt
+
d ωr dt
+
ωe
×
ωr
α = αe + αr + ωe × ωr
三、自由度
确定S上圆弧AB的位置需要 三个独立的坐标
作定点转动的刚体有 三个自由度
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刚体空间运动
§14-2 用欧拉角描述刚体定点转动
一、欧拉角 作定点转动的刚体
在空间的位置可以用唯 一的一组欧拉角表示。
定系：Oξηζ
连体坐标系：Oxyz
节线：ON ⎯ Oxy坐标面与Oξη 坐标面的交线
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刚体空间运动
OC*为瞬轴 vC = AC ⋅ ω ω = vC = vC AC r cos β
=
h2 + rh
r2
v C = 常数
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刚体空间运动
2） 求角加速度
先求牵连角速度和相对角速度。
运动分解： 研究对象：圆锥 动系： Oz轴
牵连运动：Oz轴绕ζ 轴的转动
相对运动：绕Oz轴的自转
ωe = ψ& ωr = ϕ& θ& = 0 θ = 常数 ω = ωe + ωr = ψ& + ϕ& 这种 θ = 常数，ψ& = 常数,ϕ& = 常数 的情况: 规则进动
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刚体空间运动
§14-4 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理
一、 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理
框架以ω1绕 z轴转动，同时圆盘又以ω2绕CD轴转动。 ω1 ω2
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刚体空间运动
动系： 框架 绝对运动： 定点转动 相对运动： 绕CD轴转动 牵连运动： 定轴转动
ω1
ω
ω2
ωe = ω1 ωr = ω2
指向： 右手法则
瞬时角加速度矢量
α = dω dt
方向：沿角速度矢端曲线的切线方向
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刚体空间运动
v = dr dt
α = dω dt
v v v vv v vv
r
rr
α α ααα α
ω
ω
O
O
注意：角加速度矢量与角速度矢量一般是不共线的。
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刚体空间运动
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刚体空间运动
三、刚体定点转动的运动性质 在每一瞬时都存在一根通过定点的转动瞬轴； 刚体的连续运动为绕一系列的瞬轴以不同的 瞬时角速度作连续的瞬时转动。
α = ωe × ωr
特例 αe = 0 , αr = 0
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刚体空间运动
第三届江苏省大学生力学竞赛二（4）： α&,α&&
转子的绝对角速度矢量
ω = α& + β& + γ&
在内框上看，其角加
速度矢量
ε1
=
d γ& dt
=
γ&&
β&, β&&
γ&, γ&&
在外框上看，其角加
速度矢量
ε2
=
d dt
说明: 上述的转角可以是有限值(相对于无限小而言)， 称为有限转动。相应地，△t 也可以是有限值。
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刚体空间运动
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刚体空间运动
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刚体空间运动
第四届全国大学生力学竞赛第九题：
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
A
A
O
b x
B a
y
O
b x
C B ay
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刚体空间运动
二、转动瞬轴、瞬时角速度与角加速度
下面在无限小时间间隔内应用欧拉定理 转动瞬轴
刚体空间运动
专题部分
第 14 章 刚体空间运动
2015年11月21日
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刚体空间运动
第14章 刚体定点转动与刚体一般运动
§14-1 刚体定点转动力学模型的再简化 §14-2 用欧拉角描述刚体定点转动 §14-3 欧拉定理 §14-4 刚体绕相交轴转动的角速度合成定理 §14-5 刚体定点转动时各点的速度与加速度分析 §14-6 刚体一般运动 §14-7 讨论与小结
ωθ = θ& i1
自转角速度 方向沿 z2(z) 轴
ωϕ = ϕ& k 2
ωϕ ωψ
k2 k0 i1
ωθ
瞬时角速度 ω = ωψ + ωθ + ωϕ
思考：角加速度如何求？
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刚体空间运动
[例14-1] 正圆锥体
已知： h，r，vC =常数，
圆锥体作纯滚动。
求：圆锥体的角速度
ω
和角加速度。
解： 1） 求角速度