1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
2020年11月1日 9
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程 解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1, 2
k 11
12k 1k 2k 3M 1 (t )
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 2 (2 1)
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
m车
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
2020年11月1日 4
《振动力学》
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的振动方程 • 建立系统微分方程的方法 • 无阻尼系统的自由振动 • 多自由度系统的受迫振动
m1u1
m2u2 7
2.1 多自由度系统的振动方程
f1(t)
f2(t)
k1u1
k2(u1-u2) k2(u1-u2)
k3u2
m1
m2
建立方程： 矩阵形式：
m1u1
m2u2
mm12uu12
k1u1 k2 (u1
k2 (u1 u2 )
u2 ) k3u3
f1(t) f2 (t
)
力量纲
m1 0
（2）隔离体受力分析
广义位移、速度、加 速度均为正
2020年11月1日 15
《振动力学》
2.2 建立系统微分方程的方法
1 力法
牛顿第二定律和质系动量矩定理
(3) 建立方程
F1 (t) c1 x1 c 2 (x1 x 2 ) k1x1 k 2 (x1 x 2 ) m1 x1
Fi (t) ci (x i x i1 ) ci1 (x i x i1 ) k i (xi xi1 ) k i1 (xi xi1 ) mi xi
u1 f2(t)
u2
k1
k2
k3
m1
m2
建立坐标： u1, u2 的原点分别取在 m1, m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 u1、u2 加速度 u1、u2
受力分析：
f1(t)
f2(t)
k1u1
k2(u1-u2) k2(u1-u2)
k3u2
m1
m2
2020年11月1日 《振动力学》
k2
k3
m2
m1 m2
0 0
u1 u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1 u2
f1 (t ) f2 (t)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k 3
1
2
M 1 (t ) M 2 (t)
量
量
2020年11月1若日 系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维 13 《振动力学》
2020年11月1日 14
《振动力学》
2.2 建立系统微分方程的方法
1 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
（1）建立广义坐标。 质量mi 的位移xi，质 量mi静平衡位置为原 点，方向向右为正。
n DOFs vibrating system
Fn (t) c n
(x n
x n1 )
c n1 x n
kn
(xn
x n1 )
( i 2, 3, , k n1 x n m n xn
n
1)
整理后用矩阵形式表示为 M x Cx Kx F t
2020年11月1日 5
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程
先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
f1(t)
u1
f2(t)
u2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
2020年11月1日 6
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程
解：
f1(t)
u1 u2
f1 (t ) f2 (t)
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M U (t) Κ U (t) F (t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
2
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼
k2
c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合
缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
2020年11月1日 3
《振动力学》
多自由度系统振动
m人
k1
c1
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
0 m2
u1 u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
u1 u2
f1 f2
(t) (t)
坐标间的耦合项
2020年11月1日 8
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程 例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 I1, I2
轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
角加速度 1 ,2
k 2 (1 2 ) I11 k 33
2020年11月1日 《振动力学》
M 2 (t)
I 22
10
2.1 多自由度系统的振动方程
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 33
M 1 (t )
建立方程：
I11
M 2 (t)
I 22
I11 I 22
k11 k 2 ( 2
k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M1 (t) M 2 (t)
矩阵形式：
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
2020年11月1日 11
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程
f1(t)
k1 m1
f2(t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
2020年11月1日 12
《振动力学》
2.1 多自由度系统的振动方程
小结：
例1： 例2：
m1 m2
0 0
u1 u2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
多自由度系统振动
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单
缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之
2《0振20动年间力11学月的》1日相互影响