1）行阶梯形矩 阵2）各非零行的首非零元均为1.
3）首非零元所在列其它元素均为０.
如
0 1 2 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
行最简形矩阵一般形式
[ j1]
[ j2 ]
[ jr ]
0
01
0
0
1
若首非零列第1行元素为0，可调换行使其不为0 )
利用初等行变换将A化为A1，
a11
a12
A1
0
a22
0 am1
a1n
a2n
amn
a22
令B
am1
a2n
amn
按上述方法继续下去，可将A化为行阶梯形矩阵.
用类似方法可将A化为行最简形矩阵,得出
定理2 对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换 将其化为行最简形矩阵.
0
1
0
0
* 1
*
2
*
r
0
0
3.标准形矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为标准形矩阵：
1）若有非零元,则左上角为单位矩阵；
２）其它元素均为０.
1 0 0 0
如
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0 0
0
1
0
0 0 1
0
0
0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
1 0 0 0 0
1 j1j2 … jr n (注:若r2,从第2行起,各非零行的首非零元的列标,
大于前一行首非零元的列标.) .
如
2 1 2 1
0 1 2 1
0 0
0 0
0 0
5 0
0
1
1
0 0 1
0
0
0
1
2
5
1 2
0 0 0 2
0
0
0
0
下列矩阵是否是行阶梯形矩阵？
1 2 3 4
1 5
1 3
0
6
A1
0
3 3
4
3
1 1 2 1 4
由上页
A2
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
0 0 0 0 0
r2 r3 r1 r3
1 1 2 0 7
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
1 0 1 0 4
r1 r2
0 0
1 0
1 0
0 1
3
3
A En.
二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵
右侧矩阵特点：
（1）、可画出一条阶 梯线，线的左下方全 为零；
（2）、每个台阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
0
4
3
r4 4r2 0 0 0
1 4
1
8
A2
0
0
0
4
8
1 6 4 1 4
由上页
A2
0 0
4 0
3 0
1
1
4 8
0
0
0
4
8
r4 r3
1 6 4 1 4
0
4
3
0 0 0
1 4
1 8
A3
0
0
0
0
0
A3 为所求的行阶梯形矩阵.
2.行最简形矩阵
称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：
A)
0 0 0 0
0 0
0 0
1 0
2 0
1 2 3 4
D)
0 2 0 1
0 0
2 0
1 0
2 1
1 2 3 4
B)
0 0 0 1
0 0
0 0
1 0
2 0
1 0 0 4
E)
0 1 0 1
0 0
0 0
1 0
02
1 2 3 4
C)
0 2 0 2
0 0
0 0
3 0
2 0
1 0 0 0
F)
0 1 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
行阶梯形矩阵一般形式
0
0 b1 j1
b1 j2
b2 j2
b1 jr
*
b2 jr
*
brjr
*
0
0
0
0
例1. 设
3 2 0 5 0
A
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
将矩阵A用初等行变换化为行阶梯形矩阵,
1 6 4 1 4
A
r1 r4
0
0
A4
0 0 0 0 0
A2 , A3 依次为 行阶梯形和行最简形矩阵,
最后得到的矩阵 A是4 标准形。
定理1 对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换
将其化为行阶梯形矩阵.
证:
设
A
a11 a21
a12 a22
am1 am1
a1n a2n
，
amn
(1) 当A 0，即为行阶梯形矩阵; (2)当A 0，不妨设a11 0，(若第1列全为0，则取首非零列,
记作c i
kc j）.
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
对于每种初等行变换,将一个矩阵经初等行变换后得到的新 矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同.
(1) ri rj
其逆变换为:
ri rj;
1 2 3
3 5 9
例如
2
3
4 5
7
9
r1 r3
2
1
4 2
2
3
例如
2
4
7
r2 2
2
2
42
7
2
3 5 9
3
5
9
3 把某一行的每个元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（例如第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
例如
1
2
2 4
3 7
r3 2r2
1 2
2
3
4
7
3 5 9
3 2 2 5 4 2 9 7 2
一、初等行(列)变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i , j 两行,记作ri rj）；
1 2 3 3 5 9
例如
2
4
7
r1 r3
2
4
7
3 5 9
1 2 3
2以数 k 0 乘以某一行的所有元素
（例如第 i 行的每个元素乘 k,记作 ri k）；
1 2 3 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
标准形矩阵一般形式
若矩阵有非零元,矩阵的左上角为单位矩阵,若有 其余元素,均为0.
如
Er
O
O
O
注: 将零矩阵作为标准形的一个特例.
利用初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，可把矩阵化为行最简形矩阵. 利用初等变换可把矩阵化为标准形矩阵.
7
3
3 5 9
1 2 3
2
4
7
r1 r3
2
4
7
1 2 3
3 5 9
(2) ri k
其逆变换为:
1 2 3
1
2
3
例如
2
4
7
r2 2
2
2
42
7
2
3 5 9
3
5
9
1 ri ( k ) ;
1
2
3 1 1 2 3
2
2
42
7
2
r2 2
2
4
7
3
5
9
3 5 9
同理,对于每种初等列变换,将一个矩阵经初等列变换后得到 的新矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同. (将初等行变换所用记号中的“r”换成“c”)．
定义：如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B 等价，记作A B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
（1） 反身性 A~A;
（2）对称性 若 A~B; 则 B~A; （3）传递性 若 A~B , B~C 则 A~C .
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
A
1
1 2
1
4
r1
r2
2
1
1
1
2
4
3
6 6
2 9
2 7
4
9
r3 2 2
3
3 6
1 9
1 7
2
9
r2 r3 r3 2r1
1
0
1 2 2 2
1 2
4
0
r4 3r1