W2
r2

P

r2

W1
l1 2
sin
11

W2r2
sin
1

Pr3
c
os1

P
c os1

(W1 2
W2
) sin
1 l11

C1

r1

rA

W1
r2
r3
C2
P

W2
(a)
所以，对应1的广义力为
Q1 W1 2
W2 ) sin 1l1
6
② 再令2≠0、1＝0，如图(b)。 所有力在此虚位移上的虚功为： WF mA (W2 ) 2 mA (P) 2

W2
l2 2
sin2 2

Pl2 2
cos2
C1

(P
cos2

W2 2
i 1
n
(Fi Ni FIi ) ri 0
i 1
理想约束：
n
Ni


ri

0
i 1
(1)
n
或
[( X i mxi ) xi (Yi myi ) yi (Zi mzi ) zi ] 0 (2)
i 1
或
ΣWF ΣWFI 0
Q2

3 i 1

Xi
xi
2
Yi
yi
2

Zi
zi
2


(P cos2
W2 2
sin 2 )l2
5
解2：（几何法）选1、2为广义坐标，对应虚位移为1、2。
① 先令1≠0、2＝0，如图（a）。所
有力在此虚位移上的虚功为
ΣWF


mO (W1)1
一、广义力的概念
§18-1 广义力
质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh ( h = 1,2,…,k) 表示：
ri

ri
(q1,
q2
,,
qk
)
i 1,2,, n
求变分，得用广义坐标 变分表示的虚位移：

ri

k h1
ri qh
qh
i 1,2,, n
对应第 h 个广义坐
该质点上的力所作虚功：
标的广义
Wi

Fi

ri

Fi
k
(
h1
ri qh
qh )

k h1
Fi

ri qh
qh
力 i 1,2,, n
整个质点系上所有（主 动）力所作虚功：
Qh

n i 1
Fi
ri qh
h 1,2,, k
(3)
即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。
注：①上式中不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；
②当质点系静止时（静平衡），ΣWFI 0 ，退化为虚功方程：
WF 0
8
解题步骤： (一)研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）； (二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移； (三)列解方程。
WF

n
Wi
i 1

n i 1
(
k h1
Fi

ri qh
qh
)

k h1
(
n i 1
Fi

ri qh
)qh

k
Qhqh
h1
3
二、广义力的求法
1. 解析法——由各力及其作用点求
Qh

n i 1
Fi

ri qh
Qh

WF qh
4
例1 （书上例17-10）
计算双摆的广义力，已知摆长各为l1、l2，
重量各为W1、W2，力P。（2自由度）
C1
解1：（解析法）建立坐标系如图。选1、
2为广义坐标。

C2

各力在坐标轴上的投影为
W1
P

X1 W1, X 2 W2 , Y3 P
W2
各力作用点坐标为
x O
即，一个变分方程可对 应几个独立的代数方程： 独立代数方程数 ＝ 广
x y ——广义坐标的变分
义坐标数
X , Y , mC (F ) ——虚功表达式中广义坐标的
变分的系数，称为广义力Qi
可见，虚功方程等价于 Qi = 0 (i = 1, 2, ... , k)
1
注1：
sin 2
)l2
2
所以，对应2的广义力为
Q2
WF 2

(P
cos2

W2 2
sin2
)l2
W1
r2
r3
C2
P
W2
(b)
§18-2 动力学普遍方程
回到动力学问题上来。
达朗贝尔原理 虚位移原理
动力学普遍方程
拉格朗日方程
拉格朗日是分析力学的创始人。 分析力学的基础
7
动力学普遍方程的思想是： 对n个质点的质点系：
达朗贝尔原理
虚位移原理
动力学问题
形式上的平衡问题
动力学普遍方程
n
(Fi Ni ) 0
i 1
n
(Fi Ni FIi ) 0
i 1
n
(Fi

FIi )

ri
0
i 1
n
(Fi mai ) ri 0
对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系， 该组方程不同于平衡方程（见后面例1）。
注2：
①对应每一个广义坐标，有一个广义力； ②广义力是代数量而非矢量； ③广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。 在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首 先介绍广义力。
2
第18章 动力学普遍方程 拉格朗日方程
x1

l1 2
c
os1,
x2

l1
cos1

l2 2
c os 2 ,
y3 l1 sin 1 l2 sin 2
代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得
Q1

3 i 1

Xi
xi
1
Yi
yi
1

Zi
zi
1


Pcos1
(W1 2
W2 ) sin 1l1
用虚功方程解决过若干问题， WF 0
问题：用虚功方程可解几个代数未知量？
y
y
看例子——平面平衡自由刚体 几个自由度？
C
x
给刚体虚位移： x y 对应平动

对应转动
WF X x Y y mC (F) 0

X 0, Y 0, mC (F) 0
用直角坐标表示：
h 1,2,, k
Qh

n i 1
(Xi
xi qh
Yi
yi qh
Zi
zi ) qh
h 1,2,, k
2. 几何法——由虚功求
k
质点系虚功： WF Qhqh h 1
若只给定第h个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则
WF Qhqh